（14 分）已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A (-2,0…——2017 高考数学第 19 题答案解析

【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．
【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（ I ）由题意设椭圆方程，由 $\mathrm{a}=2$ ，根据椭圆的离心率公式，即可求得 $c$ ，则 $b^{2}=a^{2}-c^{2}=1$ ，即可求得椭圆的方程；
（II）由题意分别求得 DE 和 BN 的斜率及方程，联立即可求得 E 点坐标，根据

三角形的相似关系，即可求得 $\frac{|B E|}{|B N|}=\frac{4}{5}$ ，因此可得 $\triangle B D E$ 与 $\triangle B D N$ 的面积之比为 $4: 5$ ．

【解答】解：（I）由椭圆的焦点在 $x$ 轴上，设栯圆方程：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 ~(a>b>$ 0 ），
则 $\mathrm{a}=2, \mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $\mathrm{c}=\sqrt{3}$ ，
$b^{2}=a^{2}-c^{2}=1$,
∴ 椭圆 C 的方程 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{4}+\mathrm{y}^{2}=1$ ；
（II）证明：设 D $\left(x_{0}, 0\right),\left(-20$ ，
由 $M, N$ 在椭圆上，则 $\frac{x_{0}^{2}}{4}+y_{0}^{2}=1$ ，则 $x_{0}{ }^{2}=4-4 y_{0}{ }^{2}$ ，
则直线 $A M$ 的斜率 $k_{A M}=\frac{y_{0}-0}{x_{0}+2}=\frac{y_{0}}{x_{0}+2}$ ，直线 $D E$ 的斜率 $k_{D E}=-\frac{x_{0}+2}{y_{0}}$ ，
直线 DE 的方程：$y=-\frac{x_{0}+2}{y_{0}}\left(x-x_{0}\right)$ ，
直线 $B N$ 的斜率 $k_{B N}=\frac{-y_{0}}{x_{0}-2}$ ，直线 $B N$ 的方程 $y=\frac{-y_{0}}{x_{0}-2}(x-2)$ ，
$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{x_{0}+2}{y_{0}}\left(x-x_{0}\right) \\ y=\frac{y_{0}}{x_{0}-2}(x-2)\end{array}\right.$ ，解得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4 x_{0}+2}{5} \\ y=\frac{4}{5} y_{0}\end{array}\right.$ ，
过 E 做 $\mathrm{EH} \perp \mathrm{x}$ 轴，$\triangle \mathrm{BHE} \backsim \triangle \mathrm{BDN}$ ，
则 $|\mathrm{EH}|=\frac{4 \mathrm{y}_{0}}{5}$ ，
则 $\frac{|\mathrm{EH}|}{|\mathrm{ND}|}=\frac{4}{5}$ ，
$\therefore \quad \triangle \mathrm{BDE}$ 与 $\triangle \mathrm{BDN}$ 的面积之比为 4： 5.

【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，相似三角形的应用，考查数形结合思想，属于中档题．