直三棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1 C_ 1 中，…——2022 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（1）证明见解析
（2）$\frac{4}{5}$
（3）$\frac{\sqrt{10}}{10}$

【解析】

【分析】（1）以点 $A_{1}$ 为坐标原点，$A_{1} A , A_{1} B_{1} , A_{1} C_{1}$ 所在直线分别为 $x , y , z$ 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可求得直线 $B E$ 与平面 $C C_{1} D$ 夹角的正弦值；
（3）利用空间向量法可求得平面 $A_{1} C D$ 与平面 $C C_{1} D$ 夹角的余弦值．

【小问 1 详解】

证明：在直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A A_{1} \perp$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，且 $A C \perp A B$ ，则 $A_{1} C_{1} \perp A_{1} B_{1}$以点 $A_{1}$ 为坐标原点，$A_{1} A , A_{1} B_{1} , A_{1} C_{1}$ 所在直线分别为 $x , y , z$ 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则 $A(2,0,0) , B(2,2,0) , C(2,0,2) , A_{1}(0,0,0) , B_{1}(0,0,2) , C_{1}(0,0,2) , D(0,1,0)$ 、
$E(1,0,0) , F\left(1, \frac{1}{2}, 1\right)$ ，则 $\overrightarrow{E F}=\left(0, \frac{1}{2}, 1\right)$ ，
易知平面 $A B C$ 的一个法向量为 $\vec{m}=(1,0,0)$ ，则 $\overrightarrow{E F} \cdot \vec{m}=0$ ，故 $\overrightarrow{E F} \perp \vec{m}$ ，
$\because E F \not \subset$ 平面 $A B C$ ，故 $E F / /$ 平面 $A B C$ ．

【小问 2 详解】

解： $\overrightarrow{C_{1} C}=(2,0,0), \overrightarrow{C_{1} D}=(0,1,-2), \overrightarrow{E B}=(1,2,0)$ ，
设平面 $C C_{1} D$ 的法向量为 $\vec{u}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{u} \cdot \overrightarrow{C_{1} C}=2 x_{1}=0 \\ \vec{u} \cdot \overrightarrow{C_{1} D}=y_{1}-2 z_{1}=0\end{array}\right.$ ，
取 $y_{1}=2$ ，可得 $\vec{u}=(0,2,1), \cos \langle\overrightarrow{E B}, \vec{u}\rangle=\frac{\overrightarrow{E B} \cdot \vec{u}}{|\overrightarrow{E B}| \cdot|\vec{u}|}=\frac{4}{5}$ ．
因此，直线 $B E$ 与平面 $C C_{1} D$ 夹角的正弦值为 $\frac{4}{5}$ ．

【小问 3 详解】

解： $\overrightarrow{A_{1} C}=(2,0,2), \overrightarrow{A_{1} D}=(0,1,0)$ ，
设平面 $A_{1} C D$ 的法向量为 $\vec{v}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{v} \cdot \overrightarrow{A_{1} C}=2 x_{2}+2 z_{2}=0 \\ \vec{v} \cdot \overrightarrow{A_{1} D}=y_{2}=0\end{array}\right.$ ，
取 $x_{2}=1$ ，可得 $\vec{v}=(1,0,-1)$ ，则 $\cos \langle\vec{u}, \vec{v}\rangle=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot|\vec{v}|}=-\frac{1}{\sqrt{5} \times \sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，
因此，平面 $A_{1} C D$ 与平面 $C C_{1} D$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ．