空间向量的应用　·　历年高考数学真题与解析

17．已知四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形，$A B / / C D, A_{1} A \perp$ 平面 $A B C D$ ， $A D \perp A B$ ，其中 $A B=A A_{1}=2, A D=D C=1 . N$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点，$M$ 是 $D D_{1}$ 的中点．  （1）求证 $D_{1} N / /$ 平面 $C B_{1} M$ ； （2）求平面 $C B_{1} M$ 与平面 $B B_{1} C C_{1}$ 的夹角余弦值； （3）求点 $B$ 到平面 $C B_{1} M$ 的距离．

18．在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P D \perp$ 底面 $A B C D, C D / / A B, A D=D C=C B=1, A B=2, D P=\sqrt{3}$ ．  （1）证明：$B D \perp P A$ ； （2）求 $P D$ 与平面 $P A B$ 所成的角的正弦值．

17. 如图，在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E$ 为棱 $B C$ 的中点，$F$ 为棱 $C D$ 的中点  （I）求证：$D_{1} F / /$ 平面 $A_{1} E C_{1}$ ； （II）求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} E C_{1}$ 所成角的正弦值． （III）求二面角 $A-A_{1} C_{1}-E$ 的正弦值．

19．（15分）如图，已知多面体 $A B C A_{1} B_{1} C_{1}, A_{1} A, B_{1} B, C_{1} C$ 均垂直于平面 $A B C$ ， $\angle \mathrm{ABC}=120^{\circ}, \mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}=4, \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}=1, \quad \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{B}_{1} \mathrm{~B}=2$. （ I ）证明：$A B_{1} \perp$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ； （II）求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A B B_{1}$ 所成的角的正弦值．