（12分）设椭圆中心在坐标原点， A(2,0), B(0,…——2008 高考数学第 21 题答案解析

【考点】96：平行向量（共线）；$K H$ ：直线与圆锥曲线的综合．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（1）依题可得椭圆的方程，设直线 $A B, E F$ 的方程分别为 $x+2 y=2, y=k x$ ， $\mathrm{D}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{k} \mathrm{x}_{0}\right), \mathrm{E}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{k} \mathrm{x}_{1}\right), \mathrm{F}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{k} \mathrm{x}_{2}\right)$ ，且 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}$ 满足方程 $\left(1+4 \mathrm{k}^{2}\right) \mathrm{x} { }^{2}=4$ ，进而求得 $x_{2}$ 的表达式，进而根据 $\overrightarrow{E D}=6 \overrightarrow{D F}$ 求得 $x_{0}$ 的表达式，由 $D$ 在 $A B$ 上知

$x_{0}+2 k x_{0}=2$ ，进而求得 $x_{0}$ 的另一个表达式，两个表达式相等求得 $k$ ．
（II）由题设可知 $|B O|$ 和 $|A O|$ 的值，设 $y_{1}=k x_{1}, y_{2}=k x_{2}$ ，进而可表示出四边形 $A$ EBF的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值。
【解答】解：（I ）依题设得椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ ，
直线 $A B, E F$ 的方程分别为 $x+2 y=2, y=k x(k>0)$ 。
如图，设 $\mathrm{D}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{k} \mathrm{x}_{0}\right), \mathrm{E}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{k} \mathrm{x}_{1}\right), \mathrm{F}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{k} \mathrm{x}_{2}\right)$ ，其中 $\mathrm{x}_{1}<\mathrm{x}_{2}$ ，

且 $x_{1}, x_{2}$ 满足方程 $\left(1+4 k^{2}\right) x^{2}=4$ ，
故 $\mathrm{x}_{2}=-\mathrm{x}_{1}=\frac{2}{\sqrt{1+4 \mathrm{k}^{2}}}$ ．

由 $\overrightarrow{\mathrm{ED}}=6 \overrightarrow{\mathrm{DF}}$ 知 $x_{0}-x_{1}=6\left(x_{2}-x_{0}\right)$ ，得 $x_{0}=\frac{1}{7}\left(6 x_{2}+x_{1}\right)=\frac{5}{7} x_{2}=\frac{10}{7 \sqrt{1+4 k^{2}}}$ ；
由D在AB上知 $x_{0}+2 k x_{0}=2$ ，得 $x_{0}=\frac{2}{1+2 k}$ ．
所以 $\frac{2}{1+2 k}=\frac{10}{7 \sqrt{1+4 k^{2}}}$ ，
化简得 $24 k^{2}-25 k+6=0$ ，
解得 $\mathrm{k}=\frac{2}{3}$ 或 $\mathrm{k}=\frac{3}{8}$ ．
（II）由题设，$|B O|=1,|A O|=2$ 。由（I）知，$E\left(x_{1}, k x_{1}\right), F\left(x_{2}, k x_{2}\right)$

不妨设 $y_{1}=k x_{1}, y_{2}=k x_{2}$ ，由（1）得 $x_{2}>0$ ，根据 $E$ 与 $F$ 关于原点对称可知 $y_{2}=-y_{1}>0$ ，故四边形 $A E B F$ 的面积为 $S=S_{\triangle O B E}+S_{\triangle O B F}+S_{\triangle O A E}+S_{\triangle O A F}$
$=\frac{1}{2}|O B| \cdot\left(-x_{1}\right)+\frac{1}{2}|O B| \cdot x_{2}+\frac{1}{2}|O A| \cdot y_{2}+\frac{1}{2}|O A| \cdot\left(-y_{1}\right)$
$=\frac{1}{2}|O B|\left(x_{2}-x_{1}\right)+\frac{1}{2}|O A|\left(y_{2}-y_{1}\right)$
$=\mathrm{x}_{2}+2 \mathrm{y}_{2}$
$=\sqrt{\left(x_{2}+2 y_{2}\right)^{2}}=\sqrt{x_{2}^{2}+4 y_{2}^{2}+4 x_{2} y_{2}} \leqslant \sqrt{2\left(x_{2}^{2}+4 y_{2}^{2}\right)}=2 \sqrt{2}$,

当 $x_{2}=2 y_{2}$ 时，上式取等号．所以 $S$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ ．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大。