（15分）（2011 •浙江）如图，设 P 是抛物线 C…——2011 高考数学第 22 题答案解析

【考点】圆锥曲线的综合；抽象函数及其应用；直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（I）先求出抛物线
$\mathrm{C}_{1}$ 准线的方程，再利用点到直线距离的求法求出 $\mathrm{C}_{2}$ 的圆心 M 到抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 准线的距离即可。

（II）先设抛物线
$\mathrm{C}_{1}$ 在点 P 处的切线交直线于点 D ，线段 AB 被抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 在点 P 处的切线平分即为 $\mathrm{x}_{\mathrm{A}}+\mathrm{x}_{\mathrm{B}}=2 \mathrm{X}_{\mathrm{D}}$ ．设出过点 $P$ 做圆 $C_{2} x^{2}+(y+3)^{2}=1$ 的两条切线 $P A, P B$ ，与直线 $y=-3$ 联立，分别求出 $A, B$ ， D 三点的横坐标，代入 $\mathrm{x}_{\mathrm{A}}+\mathrm{x}_{\mathrm{B}}=2 \mathrm{X}_{\mathrm{D}}$ ．看是否能解出点 P ，即可判断出是否存在点 P ，使线段 AB 被抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 在点 P 处的切线平分．
【解答】解：（I ）因为抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 准线的方程为： $\mathrm{y}=-\frac{1}{4}$ ，
所以圆心 M 到抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 准线的距离为：$\left|-\frac{1}{4}-(-3)\right|=\frac{11}{4}$ ．
（II）设点 P 的坐标为 $\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{x}_{0}^{2}\right)$ ，抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 在点 P 处的切线交直线 l 与点 D ，
因为：$y=x^{2}$ ，所以：$y^{\prime}=2 x$ ；
再设 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{D}$ 的横坐标分别为 $\mathrm{x}_{\mathrm{A}}, \mathrm{x}_{\mathrm{B}}, \mathrm{x}_{\mathrm{D}}$ ，
∴ 过点 $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{x}_{0}{ }^{2}\right)$ 的抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 的切线的斜率 $\mathrm{k}=2 \mathrm{x}_{0}$ ．
过点 $P\left(x_{0}, x_{0}{ }^{2}\right)$ 的抛物线 $C_{1}$ 的切线方程为：$y-x_{0}{ }^{2}=2 x_{0}\left(x-x_{0}\right)$

当 $x_{0}=1$ 时，过点 $P(1,1)$ 且与圆 $C_{2}$ 相切的切线 $P A$ 方程为：$y-1=\frac{15}{8}(x-1)$ ．可得 $x_{A}=- \frac{17}{15}, x_{B}=1, x_{D}=-1, x_{A}+x_{B} \neq 2 x_{D}$.
当 $\mathrm{x}_{0}=-1$ 时，过点 $\mathrm{P}(-1,1)$ 且与圆 $\mathrm{C}_{2}$ 的相切的切线 PB 的方程为： $\mathrm{y}-1=-\frac{15}{8}(\mathrm{x}+1)$ ．
可得 $x_{A}=-1, x_{B}=\frac{17}{15}, x_{D}=1, x_{A}+x_{B} \neq 2 x_{D}$ 。
所以 $\mathrm{x}_{0}{ }^{2}-1 \neq 0$ ．设切线 $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}$ 的斜率为 $\mathrm{k}_{1}, \mathrm{k}_{2}$ ，
则：PA： $\mathrm{y}-\mathrm{x}_{0}{ }^{2}=\mathrm{k}_{1}\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_{0}\right)$

PB：$y-x_{0}{ }^{2}=k_{2}\left(x-x_{0}\right)$ ．

将 $\mathrm{y}=-3$ 分别代入①，②，（3）得 $\mathrm{x}_{\mathrm{D}}=\frac{\mathrm{x}_{0}{ }^{2}-3}{2 \mathrm{x}_{0}}\left(\mathrm{x}_{0} \neq 0\right) ; \mathrm{x}_{\mathrm{A}}=\mathrm{x}_{0}-\frac{\mathrm{x}_{0}{ }^{2}+3}{\mathrm{k}_{1}}$ ；
$\mathrm{x}_{\mathrm{B}}=\mathrm{x}_{0}-\frac{\mathrm{x}_{0}{ }^{2}+3}{\mathrm{k}_{2}}\left(\mathrm{k}_{1}, \mathrm{k}_{2} \neq 0\right)$
从而 $x_{A}+x_{B}=2 x_{0}-\left(x_{0}{ }^{2}+3\right)\left(\frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2}}\right)$ ．
又 $\frac{\left|-x_{0} k_{1}+x_{0}{ }^{2}+3\right|}{\sqrt{k_{1}{ }^{2}+1}}=1$ ，
即 $\left(x_{0}^{2}-1\right) k_{1}^{2}-2\left(x_{0}^{2}+3\right) x_{0} k_{1}+\left(x_{0}^{2}+3\right)^{2}-1=0$ ，
同理 $\left(x_{0}^{2}-1\right) k_{2}^{2}-2\left(x_{0}^{2}+3\right) x_{0} k_{2}+\left(x_{0}{ }^{2}+3\right)^{2}-1=0$ ，
所以 $k_{1}, k_{2}$ 是方程 $\left(x_{0}{ }^{2}-1\right) k^{2}-2\left(x_{0}{ }^{2}+3\right) x_{0} k+\left(x_{0}{ }^{2}+3\right)^{2}-1=0$ 的两个不等的根，
从而 $k_{1}+k_{2}=\frac{2\left(3+x_{0}\right)^{2} x_{0}}{x_{0}{ }^{2}-1}, k_{1} \cdot k_{2}=\frac{\left(3+x_{0}{ }^{2}\right)^{2}-1}{x_{0}{ }^{2}-1}$ ，
因为 $x_{A}+x_{B}=2 X_{D}$ ．。

所以 $2 \mathrm{x}_{0}-\left(3+\mathrm{x}_{0}^{2}\right)\left(\frac{1}{\mathrm{k}_{1}}+\frac{1}{\mathrm{k}_{2}}\right)=\frac{\mathrm{x}_{0}^{2}-3}{\mathrm{x}_{0}}$ ，即 $\frac{1}{\mathrm{k}_{1}}+\frac{1}{\mathrm{k}_{2}}=\frac{1}{\mathrm{x}_{0}}$ ．
从而 $\frac{2\left(3+x_{0}{ }^{2}\right) x_{0}}{\left(x_{0}{ }^{2}+3\right)^{2}-1}=\frac{1}{x_{0}}$ ，
进而得 $x_{0}{ }^{4}=8, x_{0}= \pm \sqrt[4]{8}$ ．
综上所述，存在点 P 满足题意，点 P 的坐标为 $( \pm \sqrt[4]{8}, 2 \sqrt{2})$ ．

【点评】本题是对椭圆与抛物线，以及直线与椭圆和抛物线位置关系的综合考查．在圆锥曲线的三种常见曲线中，抛物线是最容易的，而双曲线是最复杂的，所以一般出大题时，要么是单独的椭圆与直线，要么是椭圆与抛物线，直线相结合．这一类型题目，是大题中比较有难度的题。