（14 分）已知椭圆 M: x^ 2 a^ 2 + y^…——2018 高考数学第 20 题答案解析

【考点】K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质；KL：直线与椭圆的综合．
【专题】35：转化思想；41：向量法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（I）根据椭圆的离心率公式即可求得 a 的值，即可求得 b 的值，求得椭圆方程；
（II）当 $\mathrm{k}=1$ 时，设直线 AB 的方程，代入椭圆方程，根据弦长公式即可求得 $|\mathrm{AB}|$的最大值；
（III）求得直线 PA 的方程，代入椭圆方程，即可根据韦达定理即可求得 C 点坐标，同理求得 D 点坐标，即可求得 $\overrightarrow{\mathrm{QC}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{QD}}$ ，根据向量的共线定理，即可求得直线 AB 的斜率．
【解答】解：（I）由题意可知： $2 \mathrm{c}=2 \sqrt{2}$ ，则 $\mathrm{c}=\sqrt{2}$ ，椭圆的离心率 $\mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则 $\mathrm{a}=\sqrt{3}$,
$\mathrm{b}^{2}=\mathrm{a}^{2}-\mathrm{c}^{2}=1$,
∴ 椭圆的标准方程：$\frac{\mathrm{x}^{2}}{3}+\mathrm{y}^{2}=1$ ；
（II）设直线 AB 的方程为： $\mathrm{y}=\mathrm{x}+\mathrm{m}, \mathrm{A}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right), \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}y=x+m \\ \frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1\end{array}\right.$ ，整理得： $4 x^{2}+6 m x+3 m^{2}-3=0, \Delta=(6 m)^{2}-4 \times 4 \times 3\left(m^{2}-1\right)>$ 0 ，整理得： $\mathrm{m}^{2}<4$ ，
$\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}=-\frac{3 \mathrm{~m}}{2}, \quad \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}=\frac{3\left(\mathrm{~m}^{2}-1\right)}{4}$,
$\therefore|A B|=\sqrt{1+k^{2}} \sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2} \sqrt{4-m^{2}}$ ，

∴ 当 $\mathrm{m}=0$ 时，$|\mathrm{AB}|$ 取最大值，最大值为 $\sqrt{6}$ ；
（III）设直线 PA 的斜率 $\mathrm{k}_{\mathrm{PA}}=\frac{\mathrm{y}_{1}}{\mathrm{x}_{1}+2}$ ，直线 PA 的方程为： $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{y}_{1}}{\mathrm{x}_{1}+2}(\mathrm{x}+2)$ ，
联 立 $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}(x+2) \\ x^{2} \\ 3\end{array}+y^{2}=1\right.$ ，消去 $y$ 整理得：$\left(x_{1}{ }^{2}+4 x_{1}+4+3 y_{1}{ }^{2}\right) x^{2}+12 y_{1}{ }^{2} x+ \left(12 y_{1}^{2}-3 x_{1}^{2}-12 x_{1}-12\right)=0$,

由 $\frac{x_{1}^{2}}{3}+y_{1}^{2}=1$ 代入上式得，整理得：$\left(4 x_{1}+7\right) x^{2}+\left(12-4 x_{1}^{2}\right) x-\left(7 x_{1}^{2}+12 x_{1}\right) =0$ ，
$x_{1} \cdot x_{C}=-\frac{\left(7 x_{1}^{2}+12 x_{1}\right)}{4 x_{1}+7}, x_{C}=-\frac{7 x_{1}+12}{4 x_{1}+7}$ ，则 $y_{C}=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}\left(-\frac{7 x_{1}+12}{4 x_{1}+7}+2\right)=\frac{y_{1}}{4 x_{1}+7}$ ，
则 $\mathrm{C}\left(-\frac{7 \mathrm{x}_{1}+12}{4 \mathrm{x}_{1}+7}, \frac{\mathrm{y}_{1}}{4 \mathrm{x}_{1}+7}\right)$ ，同理可得： $\mathrm{D}\left(-\frac{7 \mathrm{x}_{2}+12}{4 \mathrm{x}_{2}+7}, \frac{\mathrm{y}_{2}}{4 \mathrm{x}_{2}+7}\right)$ ，
由 $\mathrm{Q}\left(-\frac{7}{4}, \frac{1}{4}\right)$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{QC}}=\left(\frac{1}{4\left(4 \mathrm{x}_{1}+7\right)}, \frac{4 \mathrm{y}_{1}-4 \mathrm{x}_{1}-7}{4\left(4 \mathrm{x}_{1}+7\right)}\right)$ ，
$\overrightarrow{\mathrm{QD}}=\left(\frac{1}{4\left(4 \mathrm{x}_{2}+7\right)}, \frac{4 \mathrm{y}_{2}-4 \mathrm{x}_{2}-7}{4\left(4 \mathrm{x}_{2}+7\right)}\right)$,

整理得：$y_{2}-x_{2}=y_{1}-x_{1}$ ，则直线 $A B$ 的斜率 $k=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=1$ ，
$\therefore \mathrm{k}$ 的值为 1 ．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，向量的共线定理，考查转化思想，属于中档题．