2020_新课标 II 卷 (2020·理)
19．已知椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_{2}$ 的焦点重合，$C_{1}$ 的中心与 $C_{2}$ 的顶点重合．过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交 $C_{1}$ 于 $A, B$ 两点，交 $C_{2}$ 于 $C, D$ 两点，且 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ ．
（1）求 $C_{1}$ 的离心率；
②设 $M$ 是 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共点，若 $|M F|=5$ ，求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的标准方程．
(1) $\frac{1}{2}$; (2) $C_{1}: \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{27}=1, C_{2}: y^{2}=12 x$ ．
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】①$\frac{1}{2}$ ；②$C_{1}: \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{27}=1, C_{2}: y^{2}=12 x$ ．
【解析】
【分析】
（1）求出 $|A B| ,|C D|$ ，利用 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ 可得出关于 $a , c$ 的齐次等式，可解得椭圆 $C_{1}$ 的离心率的值；
②由①可得出 $C_{1}$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$ ，联立曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的方程，求出点 $M$ 的坐标，利用抛物线的定义结合 $|M F|=5$ 可求得 $c$ 的值，进而可得出 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的标准方程．
【详解】①$\because F(c, 0), A B \perp x$ 轴且与椭圆 $C_{1}$ 相交于 $A , B$ 两点，则直线 $A B$ 的方程为 $x=c$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}x=c \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\ a^{2}=b^{2}+c^{2}\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}x=c \\ y= \pm \frac{b^{2}}{a}\end{array}\right.$ ，则 $|A B|=\frac{2 b^{2}}{a}$ ，
抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$ ，联立 $\left\{\begin{array}{l}x=c \\ y^{2}=4 c x\end{array}\right.$ ，
解得 $\left\{\begin{array}{l}x=c \\ y= \pm 2 c\end{array}, \therefore|C D|=4 c\right.$ ，
$\because|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ ，即 $4 c=\frac{8 b^{2}}{3 a}, 2 b^{2}=3 a c$ ，
即 $2 c^{2}+3 a c-2 a^{2}=0$ ，即 $2 e^{2}+3 e-2=0$ ，
$\mathrm{Q} 0<e<1$ ，解得 $e=\frac{1}{2}$ ，因此，椭圆 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ；
②由①知 $a=2 c, b=\sqrt{3} c$ ，椭圆 $C_{1}$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=4 c x \\ \frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1\end{array}\right.$ ，消去 $y$ 并整理得 $3 x^{2}+16 c x-12 c^{2}=0$ ，
解得 $x=\frac{2}{3} c$ 或 $x=-6 c$（舍去），
由抛物线的定义可得 $|M F|=\frac{2}{3} c+c=\frac{5 c}{3}=5$ ，解得 $c=3$ ．
因此，曲线 $C_{1}$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{27}=1$ ，
曲线 $C_{2}$ 的标准方程为 $y^{2}=12 x$ ．
【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题．