设 a_ n 是等差数列， b_ n 是等比数列，且 a_…——2022 高考数学第 18 题答案解析

【答案】①$a_{n}=2 n-1, b_{n}=2^{n-1}$
（2）证明见解析
③$\frac{(3 n-1) 4^{n+2}+16}{9}$

【解析】
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
②由等比数列的性质及通项与前 $n$ 项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得 $\left[a_{2 k}-(-1)^{2 k-1} a_{2 k-1}\right] b_{2 k-1}+\left[a_{2 k+1}-(-1)^{2 k} a_{2 k}\right] b_{2 k}$ ，进而由并项求和可得 $T_{n}=\sum_{k=1}^{n} k \cdot 4^{k+1}$ ，再结合错位相减法可得解。

【小问 1 详解】

设 $\left\{a_{n}\right\}$ 公差为 $d,\left\{b_{n}\right\}$ 公比为 $q$ ，则 $a_{n}=1+(n-1) d, b_{n}=q^{n-1}$ ，
由 $a_{2}-b_{2}=a_{3}-b_{3}=1$ 可得 $\left\{\begin{array}{c}1+d-q=1 \\ 1+2 d-q^{2}=1\end{array} \Rightarrow d=q=2 \quad(d=q=0\right.$ 舍去），
所以 $a_{n}=2 n-1, b_{n}=2^{n-1}$ ；

【小问 2 详解】

证明：因为 $b_{n+1}=2 b_{n} \neq 0$ ，所以要证 $\left(S_{n+1}+a_{n+1}\right) b_{n}=S_{n+1} b_{n+1}-S_{n} b_{n}$ ，

即证 $\left(S_{n+1}+a_{n+1}\right) b_{n}=S_{n+1} \cdot 2 b_{n}-S_{n} b_{n}$ ，即证 $S_{n+1}+a_{n+1}=2 S_{n+1}-S_{n}$ ，

即证 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}$ ，

而 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}$ 显然成立，所以 $\left(S_{n+1}+a_{n+1}\right) b_{n}=S_{n+1} \cdot b_{n+1}-S_{n} \cdot b_{n}$ ；

【小问 3 详解】

因为 $\left[a_{2 k}-(-1)^{2 k-1} a_{2 k-1}\right] b_{2 k-1}+\left[a_{2 k+1}-(-1)^{2 k} a_{2 k}\right] b_{2 k}$
$=(4 k-1+4 k-3) \times 2^{2 k-1}+[4 k+1-(4 k-1)] \times 2^{2 k}=k \times 4^{k+1}$,

所以 $\sum_{k=1}^{2 n}\left[a_{k+1}-(-1)^{k} a_{k}\right] b_{k}=\sum_{k=1}^{n}\left[\left(a_{2 k}-(-1)^{2 k-1} a_{2 k-1}\right) b_{2 k-1}+\left(a_{2 k+1}-(-1)^{2 k} a_{2 k}\right) b_{2 k}\right]$
$=\sum_{k=1}^{n} k \times 4^{k+1}$,

设 $T_{n}=\sum_{k=1}^{n} k \cdot 4^{k+1}$
所以 $T_{n}=1 \times 4^{2}+2 \times 4^{3}+3 \times 4^{4}+\cdots+n \times 4^{n+1}$ ，
则 $4 T_{n}=1 \times 4^{3}+2 \times 4^{4}+3 \times 4^{5}+\cdots+n \times 4^{n+2}$ ，

作差得 $-3 T_{n}=4^{2}+4^{3}+4^{4}+\cdots+4^{n+1}-n \times 4^{n+2}=\frac{4^{2}\left(1-4^{n}\right)}{1-4}-n \times 4^{n+2}$
$=\frac{(1-3 n) 4^{n+2}-16}{3}$ ，
所以 $T_{n}=\frac{(3 n-1) 4^{n+2}+16}{9}$ ，
所以 $\sum_{k=1}^{2 n}\left[a_{k+1}-(-1)^{k} a_{k}\right] b_{k}=\frac{(3 \mathrm{n}-1) 4^{n+2}+16}{9}$ ．