【答案】①$p(100)=\frac{11}{192}$ ；②$F(n)=\left\{\begin{array}{c}n, 1 \leq n \leq 9 \\ 2 n-9,10 \leq n \leq 99 \\ 3 n-108,100 \leq n \leq 999 \\ 4 n-1107,1000 \leq n \leq 2014\end{array}\right.$③$\frac{1}{19}$ ．
## 【解析】
试题分析：（1）解概率应用题，关键要正确识解事件，当 $n=100$ 时，这个数中有 9 个一位数， 90 个二位数，一个三位数，总共有 192 个数字，其中数字 0 的个数为 $3+2=11$ ，符以恰好取到 0 的概率为 $p(100)=\frac{11}{192}$ ；（2）
按（1）的思路，可分类写出 $F(n)$ 的表达式：$F^{\prime}(n)=\left\{\begin{array}{c}n, 1 \leq n \leq 9 \\ 2 n-9,10 \leq n \leq 99 \\ 3 n-108,100 \leq n \leq 999 \\ 4 n-1107,1000 \leq n \leq 2014\end{array}, ~③\right.$ 同（1）的思路，分
一位数，二位数，三位数进行讨论即可，当 $n=b\left(1 \leq b \leq 9, b \in N^{*}\right), g(n)=0$ ；当
$n=10 k+b,\left(1 \leq k \leq 9,0 \leq b \leq 9, k \in N^{*}, b \in N\right), g(n)=k$ ，当 $n=1000, g(n)=11$ ；即
$g(n)=\left\{\begin{array}{c}0, n=b, 1 \leq b \leq 9, b \in N^{*}, \\ k, n=10 k+b, 1 \leq k \leq 9,0 \leq b \leq 9, k \in N^{*}, b \in N, \text { 同理有 } \\ 11, n=100\end{array}\right.$
$f(n)=\left\{\begin{array}{c}0,1 \leq n \leq 8 \\ k, n=10 k+b-1,1 \leq k \leq 8,0 \leq b \leq 9, k \in N^{*}, b \in N \\ n-80,89 \leq n \leq 98 \\ 20, n=99,100\end{array}\right.$
由 $h(n)=f(n)-g(n)=1$ ，可知 $S=\{9,19,29,39,49,59,69,79,80,90\}$ ，当 $n=9$ 时，$P(9)=0$ ，当 $n=90$ 时， $P(90)=\frac{g(90)}{F(90)}=\frac{9}{171}=\frac{1}{19}$ ，当 $n=10 k+9\left(1 \leq k \leq 8, k \in N, P(n)=\frac{g(n)}{F(n)}=\frac{k}{2 n-9}=\frac{k}{20 k+9}\right.$ ，由 $y=\frac{k}{20 k+9}$ ，关于 k 单调递增，故当 $n=10 k+9\left(1 \leq k \leq 8, k \in N^{\prime \prime}\right), P(n)$ 最大值为 $P(89)=\frac{8}{169}$ ．又 $\frac{8}{169}<\frac{1}{19}$ ，所以当 $n \in S$ 时， $P(n)$ 㖩大值为 $\frac{1}{19}$ ．
试题解析：（1）解：当 $n=100$ 时，这个数中总共有 192 个数字，其中数字 0 的个数为 11 ，所以恰好取到 0的概率为 $p(100)=\frac{11}{192}$ ；②$F(n)=\left\{\begin{array}{c}n, 1 \leq n \leq 9 \\ 2 n-9,10 \leq n \leq 99 \\ 3 n-108,100 \leq n \leq 999 \\ 4 n-1107,1000 \leq n \leq 2014\end{array} \quad\right.$③当 $n=b\left(1 \leq b \leq 9, b \in N^{*}\right), g(n)=0 ;$ 当 $n=10 k+b,\left(1 \leq k \leq 9,0 \leq b \leq 9, k \in N^{*}, b \in N^{*}\right), g(n)=k$ ，$\exists n=1000, g(n)=11$ ；即
$g(n)=\left\{\begin{array}{c}0, n=b, 1 \leq b \leq 9, b \in N^{*} \\ k, n=10 k+b, 1 \leq k \leq 9,0 \leq b \leq 9, k \in N^{*}, b \in N, \text { 同猬有 } \\ 11, n=100\end{array}\right.$
$f(n)=\left\{\begin{array}{c}0,1 \leq n \leq 8 \\ k, n=10 k+b-1,1 \leq k \leq 8,0 \leq b \leq 9, k \in N^{*} \\ n-80,89 \leq n \leq 98 \\ 20, n=99,100\end{array}\right.$
由 $h(n)=f(n)-g(n)=1$ ，可知 $n=9,19,29,39,40,59,69,70,89,90$ ，所以当 $n \leq 100$ 时， $S=\{9,19,29,39,49,59,69,79,89,90\}$ ，当 $n=9$ 时，$\quad P(9)=0$ ，当 $n=90$ 时，$\quad P(90)=\frac{g(90)}{F(90)}=\frac{9}{171}=\frac{1}{19}$ ，当 $n=10 k+9\left(1 \leq k \leq 8, k \in N^{*}\right)$ 时，$P(n)=\frac{g(n)}{F(n)}=\frac{k}{2 n-9}=\frac{k}{20 k+9}$ ，由 $y=\frac{k}{20 k+9}$ ，关于 k 单调递增，故当 $n=10 k+9\left(1 \leq k \leq 8, k \in N^{*}\right), \quad P(n)$ 最大值为 $P(89)=\frac{8}{169}$ ．又 $\frac{8}{169}<\frac{1}{19}$ ，所以当 $n \in S$ 时，$P(n)$ 最大值为 $\frac{1}{19}$ ．考点：古典概型概率