将离心率为 e_ 1 的双曲线 C_ 1 的实半轴长 a…——2015 高考数学第 9 题答案解析

【答案】 $D$ ．
【解析】不妨设双曲线 $C_{1}$ 的焦点在 $x$ 轴上，即其方程为：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ，则双曲线 $C_{2}$ 的方程为：
$\frac{x^{2}}{(a+m)^{2}}-\frac{y^{2}}{(b+m)^{2}}=1$ ，所以 $e_{1}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}, e_{2}=\frac{\sqrt{(a+m)^{2}+(b+m)^{2}}}{a+m}=\sqrt{1+\frac{(b+m)^{2}}{(a+m)^{2}}}$ ，当 $a>b$ 时， $\frac{b+m}{a+m}-\frac{b}{a}=\frac{(b+m) a-b(a+m)}{(a+m) a}=\frac{(a-b) m}{(a+m) a}>0$ ，所以 $\frac{b+m}{a+m}>\frac{b}{a}$ ，所以 $\left(\frac{b+m}{a+m}\right)^{2}>\left(\frac{b}{a}\right)^{2}$ ，所以 $e_{2}>e_{1}$ ；当 $a

时，$\frac{b+m}{a+m}-\frac{b}{a}=\frac{(b+m) a-b(a+m)}{(a+m) a}=\frac{(a-b) m}{(a+m) a}<0$ ，所以 $\frac{b+m}{a+m}<\frac{b}{a}$ ，所以 $\left(\frac{b+m}{a+m}\right)^{2}<\left(\frac{b}{a}\right)^{2}$ ，所以 $e_{2}

【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系。

【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性。