设 F_ 1 , F_ 2 是双曲线 C: x^ 2 -…——2020 高考数学第 11 题答案解析

【答案】B

【解析】

【分析】

由 $\triangle F_{1} F_{2} P$ 是以 $P$ 为直角直角三角形得到 $\left|P F_{1}\right|^{2}+\left|P F_{2}\right|^{2}=16$ ，再利用双曲线的定义得到 $\left|\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|\right|=2$ ，联立即可得到 $\left|P F_{1}\right|\left|P F_{2}\right|$ ，代入 $S_{\triangle F_{1} F_{2} P}=\frac{1}{2}\left|P F_{1}\right|\left|P F_{2}\right|$ 中计算即可．

【详解】由已知，不妨设 $F_{1}(-2,0), F_{2}(2,0)$ ，
则 $a=1, c=2$ ，因为 $|O P|=1=\frac{1}{2}\left|F_{1} F_{2}\right|$ ，
所以点 $P$ 在以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆上，

即 $\triangle F_{1} F_{2} P$ 是以 $P$ 为直角顶点的直角三角形，

故 $\left|P F_{1}\right|^{2}+\left|P F_{2}\right|^{2}=\left|F_{1} F_{2}\right|^{2}$ ，
即 $\left|P F_{1}\right|^{2}+\left|P F_{2}\right|^{2}=16$ ，又 $\left|\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|\right|=2 a=2$ ，
所以 $4=\left|\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|\right|^{2}=\left|P F_{1}\right|^{2}+\left|P F_{2}\right|^{2}-2\left|P F_{1}\left\|P F_{2}|=16-2| P F_{1}\right\| P F_{2}\right|$ ，
解得 $\left|P F_{1} \| P F_{2}\right|=6$ ，所以 $S_{\triangle F_{1} F_{2} P}=\frac{1}{2}\left|P F_{1} \| P F_{2}\right|=3$
故选：B
【点晴】本题考查双曲线中焦点三角面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题．