（2012•天津）如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦…——2012 高考数学第 13 题答案解析

【解答】
（2012•天津）如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D ，过点 C 作 BD的平行线与圆相交于点 E ，与 AB 相交于点 $\mathrm{F}, \mathrm{AF}=3, \mathrm{FB}=1, \mathrm{EF}=\frac{3}{2}$ ，则线段 CD 的长为 $\_\_\_\_$ $\frac{4}{3}$ ．

考点 与圆有关的比例线段。
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专题 计算题。
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分析 由相交弦定理求出 FC ，由相似比求出 BD ，设 $\mathrm{DC}=\mathrm{x}$ ，则 $\mathrm{AD}=4 \mathrm{x}$ ，再由切割线定理， $\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{CD} \bullet \mathrm{AD}$ 求解．
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解答 解：由相交弦定理得到 $\mathrm{AF} \bullet \mathrm{FB}=\mathrm{EF} \bullet \mathrm{FC}$ ，即 $3 \times 1=\frac{3}{2} \times \mathrm{FC}, \mathrm{FC}=2$ ，在 $\triangle \mathrm{ABD}$ 中 $\mathrm{AF}: \mathrm{AB}=\mathrm{FC}: \mathrm{BD}$ ，即 $3: 4=2: \mathrm{B}$
$\mathrm{D}, \mathrm{BD}=\frac{8}{3}$ ，
设 $\mathrm{DC}=\mathrm{x}$ ，则 $\mathrm{AD}=4 \mathrm{x}$ ，再由切割线定理， $\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{CD} \bullet \mathrm{AD}$ ，即 $\mathrm{x} \bullet 4 \mathrm{x}=\left(\frac{8}{3}\right)^{2}, \mathrm{x}=\frac{4}{3}$
故答案为：$\frac{4}{3}$
点评 本题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性 ：质。