2013_新课标 II 卷 (2013·理)
19．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 方损 300 元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进
了 130 t 该农产品．以 x （单位： $\mathrm{t}, ~ 100 \leq \mathrm{x} \leq 150$ ）表示下一个销售季度内的市场需求量， T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
（I）将 T 表示为 x 的函数；
（II）根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率；
（III）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若 $\mathrm{x} \in$ ［100，110））则取 $\mathrm{x}=105$ ，且 $\mathrm{x}=105$ 的概率等于需求量落入［100，110）的频率，求 T 的数学期望．
【考点】B8：频率分布直方图；BE：用样本的数字特征估计总体的数字特征； CH ：离散型随机变量的期望与方差．
【专题】51：概率与统计．
【分析】（I）由题意先分段写出，当 $x \in[100,130)$ 时，当 $x \in[130,150)$ 时 ，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可。
（II）由（I）知，利润 $T$ 不少于 57000 元，当且仅当 $120 \leq x \leq 150$ ．再由直方图知需求量 $\mathrm{X} \in[120,150]$ 的频率为 0.7 ，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值．
（III）利用利润 $T$ 的数学期望 $=$ 各组的区间中点值 × 该区间的频率之和即得．
【解答】解：（ I ）由题意得，当 $x \in[100,130)$ 时，$T=500 x-300$（ $130-x$ ） $=800 \mathrm{x}-39000$ ，
当 $x \in[130,150)$ 时，$T=500 \times 130=65000$ ，
$\therefore T=\left\{\begin{array}{l}800 x-39000, x \in[100,130) \\ 65000, x \in[130,150]\end{array}\right.$ ．
（II）由（I）知，利润T不少于 57000 元，当且仅当 $120 \leq x \leq 150$ ．
由直方图知需求量 $\mathrm{X} \in[120,150]$ 的频率为 0.7 ，
所以下一个销售季度的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值为0．7．
（III）依题意可得 $T$ 的分布列如图，
| T | 45000 | 53000 | 61000 | 65000 |
|---|---|---|---|---|
| p | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 |
所以ET $=45000 \times 0.1+53000 \times 0.2+61000 \times 0.3+65000 \times 0.4=59400$ ．
【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义，是中档题。