2023_北京卷 (2023)
18．为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用＂＋＂表示＂上涨＂，即当天价格比前一天价格高；用＂－＂表示＂下跌＂，即当天价格比前一天价格低；用＂ 0 ＂表示＂不变＂，即当天价格与前一天价格相同。
| 时段 | 价格变化 | |||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 第1天到第20天 | － | ＋ | ＋ | 0 | － | － | － | ＋ | ＋ | 0 | ＋ | 0 | － | － | ＋ | － | ＋ | 0 | 0 | ＋ |
| 第 21 天到第 40 天 | 0 | ＋ | ＋ | 0 | － | － | － | ＋ | ＋ | 0 | ＋ | 0 | ＋ | － | － | － | ＋ | 0 | － | ＋ |
用频率估计概率．
（1）试估计该农产品价格＂上涨＂的概率；
（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取 4 天，试估计该农产品价格在这 4 天中 2 天＂上涨＂、 1 天＂下跌＂、 1 天＂不变＂的概率；
（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响。判断第 41 天该农产品价格＂上涨＂＂下跌＂和＂不变＂的概率估计值哪个最大。（结论不要求证明）
(1) 0.4; (2) 0.168; (3) 不变
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（1） 0.4
（2） 0.168
（3）不变
【解析】
【分析】（1）计算表格中的 + 的次数，然后根据古典概型进行计算；
（2）分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算；
（3）通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第 41 天的情况．
【小问 1 详解】
根据表格数据可以看出， 40 天里，有 16 个 + ，也就是有 16 天是上涨的，
根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：$\frac{16}{40}=0.4$
【小问 2 详解】
在这 40 天里，有 16 天上涨， 14 天下跌， 10 天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是 $0.4,0.35$ ， 0．25，
于是未来任取 4 天， 2 天上涨， 1 天下跌， 1 天不变的概率是 $\mathrm{C}_{4}^{2} \times 0.4^{2} \times \mathrm{C}_{2}^{1} \times 0.35 \times 0.25=0.168$
【小问 3 详解】
由于第 40 天处于上涨状态，从前 39 次的 15 次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有 4 次，不变的有 9次，下跌的有 2 次，
因此估计第 41 次不变的概率最大．