（本小题满分 12 分） 设数列 a_ n (n=1,2,…——2015 高考数学第 16 题答案解析

【解析】（I）由已知 $S_{n}=2 a_{n}-a_{1}$，有
$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=2 a_{n}-2 a_{n-1}(n \geqslant 2)$
即 $a_{n}=2 a_{n-1}(n \geqslant 2)$
从而 $a_{2}=2 a_{1}, a_{3}=2 a_{2}=4 a_{1}$，
又因为 $a_{1}, a_{2}+1, a_{3}$ 成等差数列
即 $a_{1}+a_{3}=2\left(a_{2}+1\right)$
所以 $a_{1}+4 a_{1}=2\left(2 a_{1}+1\right)$，解得 $a_{1}=2$
所以，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 2，公比为 2 的等比数列
故 $a_{n}=2^{n}$．
（II）由（I）得 $\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{2^{n}}$ 所以，$T_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\ldots . .+\frac{1}{2^{n}}=\frac{\frac{1}{2}\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right]}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^{n}} \quad$
【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前 $n$ 项和等基础知识，考查运算求解能力．

【名师点睛】数列问题放。在解答题第一题，通常就考查基本概念和基本运算，对于已知条件是 $S_{n}$ 与 $a_{n}$关系式的问题，基本处理方法是＂变更序号作差＂，这种方法中一定要注意首项 $a_{1}$ 是否满足一般规律（代入检验即可，或者根据变换过程中 $n$ 的范围和递推关系中的表达式判断）。数列求和时，一定要注意首项、公比和项数都不能出错．同时注意，对于较为简单的试题，解析步骤一定要详细具体，不可随意跳步。属于简单题．

## 17、（本小题满分 12 分）

一辆小客车上有 5 个座位，其座位号为 $1,2,3,4,5$，乘客 $P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}$ 的座位号分别为 1,2，
$3,4,5$，他们按照座位号顺序先后上车，乘客 $P_{1}$ 因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这 5 个座位的剩余空位中选择座位。
（I）若乘客 $P_{1}$ 坐到了 3 号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有 4 种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）

（II）若乘客 $P_{1}$ 坐到了 2 号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客 $P_{1}$ 坐到 5 号座位的概率。

## 【解析】（I）余下两种坐法如下表所示

（II）若乘客 $P_{1}$ 做到了 2 号座位，其他乘客按规则就坐

## 则所有可能坐法可用下表表示为

于是，所有可能的坐法共 8 种

## 设＂乘客 $P_{5}$ 坐到 5 号座位＂为事件 $A$，则事件 $A$ 中的基本事件的个数为 4

所以 $P(A)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

## 答：乘客 $P_{5}$ 坐到 5 号座位的概率为 $\frac{1}{2}$。

【考点定位】本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法分析和解决问题的能力，考查推理论证能力、应用意识．

【名师点睛】概率统计问题，文科的考查重点是随机事件、古典概型以及列举法求概率，本题需要考生根据条件细致填写座位表，通常采取按照某种顺序，如本题中已经设定的 $P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}$ 的座位号顺序填写，只要能正确填写好表格，相应概率随之得到。属于简单题．

## 18、（本小题满分 12 分）

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．
（I）请按字母 $F, G, H$ 标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）
（II）判断平面 $B E G$ 与平面 $A C H$ 的位置关系．并说明你的结论．
（III）证明：直线 $D F \perp$ 平面 $B E G$

【解析】（I）点 $F, G, H$ 的位置如图所示

## （II）平面 $B E G / /$ 平面 $A C H$．证明如下

因为 $A B C D-E F G H$ 为正方体，所以 $B C / / F G, B C=F G$
又 $F G / / E H, F G=E H$，所以 $B C / / E H, B C=E H$
于是 $B C E H$ 为平行四边形
所以 $B E / / C H$
又 $C H \subset$ 平面 $A C H, B E \not \subset$ 平面 $A C H$，
所以 $B E / /$ 平面 $A C H$
同理 $B G / /$ 平面 $A C H$
．$B E \cap B G=B$
所以平面 $B E G / /$ 平面 $A C H$

## （III）连接 $F H$

因为 $A B C D-E F G H$ 为正方体，所以 $D H \perp$ 平面 $E F G H$
因为 $E G \subset$ 平面 $E F G H$，所以 $D H \perp E G$
又 $E G \perp F H, E G \cap F H=O$，所以 $E G \perp$ 平面 $B F H D$
又 $D F \subset$ 平面 $B F D H$，所以 $D F \perp E G$
同理 $D F \perp B G$
．$E G \cap B G=G$
所以 $D F$ ⟂平面 $B E G$．
【考点定位】本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力．

【名师点睛】本题引入了几何体表面的折展问题，对空间想象能力要求较高。立体几何的证明一定要详细写出所有步骤，列举（推证）出所有必备的条件，如在（II）中证明两个平面平行时，除了找到两组平行线外，一定不能忘掉＂相交＂这个条件；同样，（III）中证明线面垂直，也不能忘掉＂$E G \cap B G=G$＂这个条件。属于中档题。