（13 分）设函数 f(x)=x e^ a-x +b x，…——2016 高考数学第 18 题答案解析

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性； 6 H ：利用导数研究曲线上某点切线方程。

【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用．
【分析】（I）求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及 f ②，建立方程组关系即可求 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 的值；
（II）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求 $f(x)$ 的单调区间。

【解答】解：（I）$\because y=f(x)$ 在点 $(2, f(2))$ 处的切线方程为 $y=(e-1) x+4$,
∴ 当 $x=2$ 时，$y=2(e-1)+4=2 e+2$ ，即 $f(2)=2 e+2$ ，
同时 $f^{\prime}$②$=e-1$ ，
$\because f(x)=x e^{a-x}+b x$ ，
$\therefore f^{\prime}(x)=e^{a-x}-x e^{a-x}+b$ ，

则 $\left\{\begin{array}{l}f(2)=2 e^{a-2}+2 b=2 e+2 \\ f^{\prime} \quad(2)=e^{a-2}-2 e^{a-2}+b=e-1\end{array}\right.$ ，
即 $a=2, b=e$ ；
（II）$\because a=2, b=e$ ；
$\therefore f(x)=x e^{2-x}+e x$,
$\therefore f^{\prime}(x)=e^{2-x}-x e^{2-x}+e=(1-x) e^{2-x}+e=\left(1-x+e^{x-1}\right) e^{2-x}$ ，
$\because \mathrm{e}^{2-\mathrm{x}}>0$,
$\therefore 1-x+e^{x-1}$ 与 $f^{\prime}(x)$ 同号，
令 $g(x)=1-x+e^{x-1}$ ，
则 $\mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})=-1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}-1}$ ，
由 $\mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})<0$ ，得 $\mathrm{x}<1$ ，此时 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 为减函数，
由 $g^{\prime}(x)>0$ ，得 $x>1$ ，此时 $g(x)$ 为增函数，
则当 $x=1$ 时，$g(x)$ 取得极小值也是最小值 $g(1)=1$ ，
则 $g(x) \geqslant g(1)=1>0$ ，
故 $f^{\prime}(x)>0$ ，即 $f(x)$ 的单调区间是 $(-\infty,+\infty)$ ，无递减区间。
【点评】本题主要考查导数的应用，根据导数的几何意义，结合切线斜率建立方程关系以及利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键。综合性较强．