（17）（本小题满分 13 分，（I）小问 6 分，（II…——2013 高考数学第 17 题答案解析

解：（I）因 $f(x)=a(x-5)^{2}+6 \ln x$ ，故 $f^{\prime}(x)=2 a(x-5)+\frac{6}{x}$ ，令 $x=1$ ，得 $f(1)=16 a$ ， $f^{\prime}(1)=-8 a+6$ ，所以曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y-16 a=(-8 a+6)(x-1)$ ，由点 $(0,6)$ 在切线上可得 $6-16 a=8 a-6$ ，故 $a=\frac{1}{2}$
（II）由（I）知，$f(x)=\frac{1}{2}(x-5)^{2}+6 \ln x(x>0), f^{\prime}(x)=x-5+\frac{6}{x}=\frac{(x-2)(x-3)}{x}$
令 $f^{\prime}(x)=0$ 解得 $x_{1}=2, ~ x_{2}=3$ 。
当 $03$ 时 $f^{\prime}(x)>0$ ，故 $f(x)$ 在 $(0,2),(3,+\infty)$ 上为增函数，
当 $2由此可知 $f(x)$ 在 $x=2$ 处取得极大值 $f②=\frac{9}{2}+6 \ln 2$ ，在 $x=3$ 处取得极小值 $f③=2+6 \ln 3$