2010 ??高考数学 2010_退役省自主命题 (2010·文) 第 19 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

21．（本小题满分 14 分）
已知曲线 $C_{n}: y=n x^{2}$ ，点 $P_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right)\left(x_{n}>0, y_{n}>0\right)$ 是曲线 $C_{n}$ 上的点 $(n=1,2, \ldots)$ ，
（1）试写出曲线 $C_{n}$ 在 $P_{n}$ 点处的切线 $l_{n}$ 的方程，并求出 $l_{n}$ 与 $y$ 轴的交点 $Q_{n}$ 的坐标；
（2）若原点 $O(0,0)$ 到 $l_{n}$ 的距离与线段 $P_{n} Q_{n}$ 的长度之比取得最大值，试求点 $P_{n}$ 的坐标 $\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ；
③设 $m$ 与 $k$ 为两个给定的不同的正整数，$x_{n}$ 与 $y_{n}$ 是满足（2）中条件的点 $P_{n}$ 的坐标，

证明：$\sum_{n=1}^{s}\left|\sqrt{\frac{(m+1) x_{n}}{2}}-\sqrt{(k+1) y_{n}}\right|<|\sqrt{m s}-\sqrt{k s}|(s=1,2, \ldots)$ ．

Accepted Answer

解： ①$\because y^{\prime}=2 n x 	herefore k=2 n x_{n}$ 切线 $l_{n}$ 的方程：$y-y_{n}=2 n x_{n}\left(x-x_{n}ight)$ 令 $x=0$ 得 $y=-2 n x_{n}^{2}+y_{n}=-2 n x_{n}^{2}+n x_{n}^{2}=-n x_{n}^{2}$ ，即 $Q_{n}\left(0,-n x_{n}^{2}ight)$ （2）切线方程可写成： $2 n x_{n} x-y-2 n x_{n}^{2}+y_{n}=0$ $d=\frac{\left|y_{n}-2 n x_{n}^{2}ight|}{\sqrt{\left(2 n x_{n}ight)^{2}+1}}=\frac{n x_{n}^{2}}{\sqrt{4 n^{2} x_{n}^{2}+1}}$ $\left|P_{n} Q_{n}ight|=\sqrt{x_{n}^{2}+\left(2 n x_{n}^{2}ight)^{2}}=x_{n} \sqrt{1+4 n^{2} x_{n}^{2}}$ $\frac{d}{\left|P_{n} Q_{n}ight|}=\frac{n x_{n}}{1+4 n^{2} x_{n}^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{n x_{n}}+4 n x_{n}} \leq \frac{1}{4}$ 当且仅当 $\frac{1}{n x_{n}}=4 n x_{n}$ ，即 $x_{n}=\frac{1}{2 n}$ 时取＂$=$＂ 此时 $y_{n}=n x_{n}^{2}=\frac{1}{4 n}$ 点 $P_{n}$ 的坐标为 $\left(\frac{1}{2 n}, \frac{1}{4 n}ight)$ ．③$\sum_{n=1}^{s}\left|\sqrt{\frac{(m+1) x_{n}}{2}}-\sqrt{(k+1) y_{n}}ight|=\sum_{n=1}^{s}\left|\sqrt{\frac{m+1_{n}}{4 n}}-\sqrt{\frac{k+1}{4 n}}ight|$ $$ =\sum_{n=1}^{s}\left|\sqrt{\frac{m+1_{n}}{4 n}}-\sqrt{\frac{k+1}{4 n}}ight|=|\sqrt{m+1}-\sqrt{k+1}| \cdot \sum_{n=1}^{s} \frac{1}{2 \sqrt{n}} $$ 要证 $\sum_{n=1}^{s}\left|\sqrt{\frac{(m+1) x_{n}}{2}}-\sqrt{(k+1) y_{n}}ight|<|\sqrt{m s}-\…

2010 高考数学第 19 题答案解析

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