（本小题满分14分）已知函数 f(x)=4 x^ 3 +3…——2011 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分 14 分。
（I）解：当 $t=1$ 时，$f(x)=4 x^{3}+3 x^{2}-6 x, f(0)=0, f^{\prime}(x)=12 x^{2}+6 x-6$
$f^{\prime}(0)=-6$ ．所以曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程为 $y=-6 x$ ．
（II）解：$f^{\prime}(x)=12 x^{2}+6 t x-6 t^{2}$ ，令 $f^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x=-t$ 或 $x=\frac{t}{2}$ ．
因为 $t \neq 0$ ，以下分两种情况讨论：
①若 $t<0$ ，则 $\frac{t}{2}<-t$ ，当 $x$ 变化时，$f^{\prime}(x), f(x)$ 的变化情况如下表：

$x$	$\left(-\infty, \frac{t}{2}\right)$	$\left(\frac{t}{2},-t\right)$	（ $-t,+\infty$ ）
$f^{\prime}(x)$	＋	－	＋
$f(x)$

所以，$f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(-\infty, \frac{t}{2}\right),(-t,+\infty) ; f(x)$ 的单调递减区间是 $\left(\frac{t}{2},-t\right)$ 。
②若 $t>0$ ，则 $-t<\frac{t}{2}$ ，当 $x$ 变化时，$f^{\prime}(x), f(x)$ 的变化情况如下表：

$x$	$(-\infty, t)$	$\left(-t, \frac{t}{2}\right)$	$\left(\frac{t}{2},+\infty\right)$
$f^{\prime}(x)$	＋	－	＋
$f(x)$

所以，$f(x)$ 的单调递增区间是 $(-\infty,-t),\left(\frac{t}{2},+\infty\right) ; f(x)$ 的单调递减区间是 $\left(-t, \frac{t}{2}\right)$ ．
（III）证明：由（II）可知，当 $t>0$ 时，$f(x)$ 在 $\left(0, \frac{t}{2}\right)$ 内的单调递减，在 $\left(\frac{t}{2},+\infty\right)$内单调递增，以下分两种情况讨论：
①当 $\frac{t}{2} \geq 1$ ，即 $t \geq 2$ 时，$f(x)$ 在 $(0,1)$ 内单调递减，

$$ f(0)=t-1>0, f(1)=-6 t^{2}+4 t+3 \leq-6 \times 4+4 \times 2+3<0 $$

所以对任意 $t \in[2,+\infty), f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内均存在零点。
②当 $0<\frac{t}{2}<1$ ，即 $0，若 $t \in(0,1], f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{7}{4} t^{3}+t-1 \leq-\frac{7}{4} t^{3}<0$ ．

$$ f(1)=-6 t^{2}+4 t+3 \geq-6 t+4 t+3=-2 t+3>0 $$

所以 $f(x)$ 在 $\left(\frac{t}{2}, 1\right)$ 内存在零点。
若 $t \in(1,2), f\left(\frac{t}{2}\right)=-\frac{7}{4} t^{3}+(t-1)<-\frac{7}{4} t^{3}+1<0$ ．

$$ f(0)=t-1>0 $$

所以 $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{t}{2}\right)$ 内存在零点。
所以，对任意 $t \in(0,2), f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内均存在零点。

综上，对任意 $t \in(0,+\infty), f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内均存在零点。