2024_全国甲卷 (2024·理)
18．记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，且 $4 S_{n}=3 a_{n}+4$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $b_{n}=(-1)^{n-1} n a_{n}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．
【答案】①$a_{n}=4 \cdot(-3)^{n-1}$
②$T_{n}=(2 n-1) \cdot 3^{n}+1$
【解析】
【分析】（1）利用退位法可求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．
（2）利用错位相减法可求 $T_{n}$ ．
## 【小问 1 详解】
当 $n=1$ 时， $4 S_{1}=4 a_{1}=3 a_{1}+4$ ，解得 $a_{1}=4$ ．
当 $n \geq 2$ 时， $4 S_{n-1}=3 a_{n-1}+4$ ，所以 $4 S_{n}-4 S_{n-1}=4 a_{n}=3 a_{n}-3 a_{n-1}$ 即 $a_{n}=-3 a_{n-1}$ ，
而 $a_{1}=4 \neq 0$ ，故 $a_{n} \neq 0$ ，故 $\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=-3$ ，
∴ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 4 为首项，-3 为公比的等比数列，
所以 $a_{n}=4 \cdot(-3)^{n-1}$ ．
## 【小问 2 详解】
$b_{n}=(-1)^{n-1} \cdot n \cdot 4 \cdot(-3)^{n-1}=4 n \cdot 3^{n-1}$,
所以 $T_{n}=b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots+b_{n}=4 \cdot 3^{0}+8 \cdot 3^{1}+12 \cdot 3^{2}+\cdots+4 n \cdot 3^{n-1}$
故 $3 T_{n}=4 \cdot 3^{1}+8 \cdot 3^{2}+12 \cdot 3^{3}+\cdots+4 n \cdot 3^{n}$
所以 $-2 T_{n}=4+4 \cdot 3^{1}+4 \cdot 3^{2}+\cdots+4 \cdot 3^{n-1}-4 n \cdot 3^{n}$
$=4+4 \cdot \frac{3\left(1-3^{n-1}\right)}{1-3}-4 n \cdot 3^{n}=4+2 \cdot 3 \cdot\left(3^{n-1}-1\right)-4 n \cdot 3^{n}$
$=(2-4 n) \cdot 3^{n}-2$,
$\therefore T_{n}=(2 n-1) \cdot 3^{n}+1$ ．