（本小题共 12 分） 设 d 为非零实数， a_ n =…——2011 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
解：①由已知可得 $a_{1}=d, a_{2}=d(1+d), a_{3}=d(1+d)^{2}$ ．
当 $n \geqslant 2, k \geqslant 1$ 时，$\frac{k}{n} \mathrm{C}_{n}^{k}=\mathrm{C}_{n-1}^{k-1}$ ．
因此 $a_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \mathrm{C}_{n}^{k} d^{k}=\sum_{k=1}^{n} \mathrm{C}_{n-1}^{k-1} d^{k}=d \sum_{k=0}^{n-1} \mathrm{C}_{n-1}^{k} d^{k}=d(d+1)^{n-1}$ ．
由此可见，当 $d \neq-1$ 时，$\left\{a_{n}\right\}$ 是以 $d$ 为首项，$d+1$ 为公比的等比数列；
当 $d=-1$ 时，$a_{1}=-1, a_{n}=0(n \geqslant 2)$ ，此时 $\left\{a_{n}\right\}$ 不是等比数列。
②由①可知，$a_{n}=d(d+1)^{n-1}$ ，从而 $b_{n}=n d^{2}(d+1)^{n-1}$ ，
$S_{n}=d^{2}\left[1+2(d+1)+3(d+1)^{2}+\cdots+(n-1)(d-1)^{n-2}+n(d+1)^{n-1}\right]$ 。

当 $d=-1$ 时，$S_{n}=d^{2}=1$ ．
当 $d \neq-1$ 时，（1）式两边同乘 $d+1$ 得
$(d+1) S_{n}=d^{2}\left[(d+1)+2(d+1)^{2}+\cdots+(n-1)(d+1)^{n-1}+n(d+1)^{n}\right]$ ．
（1）（2）式相减可得
$-d S_{n}=d^{2}\left[1+(d+1)+(d+1)^{2}+\cdots+(d+1)^{n-1}-n(d+1)^{n}\right]=d^{2}\left[\frac{(d+1)^{n}-1}{d}-n(d+1)^{n}\right]$
化简即得 $S_{n}=(d+1)^{n}(n d-1)+1$ ．
综上，$S_{n}=(d+1)^{n}(n d-1)+1$ 。