（19）（本小题满分 12 分） 已知 a_ n 是各项均…——2017 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
（本小题满分 12 分）
解：
①设 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，

由题意知：$a_{1}(1+q)=6, a_{1}^{2} q=a_{1} q^{2}$ ，

又 $\quad a_{n}>0$ ，

解得：$a_{1}=2, q=2$ ，

所以 $\quad a_{n}=2^{n}$
②由题意知：$S_{2 n+1}=\frac{(2 n+1)\left(b_{1}+b_{2 n+1}\right)}{2}=(2 n+1) b_{n+1}$ ，
又 $\quad S_{2 n+1}=b_{n} b_{n+1}, b_{n+1} \neq 0$ ，

所以 $\quad b_{n}=2 n+1$ ，

令

$$ c_{n}=\frac{b_{n}}{a_{n}} $$

则

$$ c_{n}=\frac{2 n+1}{2^{n}} $$

因此

$$ \begin{aligned} T_{n} & =c_{1}+c_{2}+\ldots+c_{n} \\ & =\frac{3}{2}+\frac{5}{2^{2}}+\frac{7}{2^{3}}+\ldots+\frac{2 n-1}{2^{n-1}}+\frac{2 n+1}{2^{n}} \end{aligned} $$

又 $\quad \frac{1}{2} T_{n}=\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{2^{3}}+\frac{7}{2^{4}} \ldots+\frac{2 n-1}{2^{n}}+\frac{2 n+1}{2^{n+1}}$
两式相减得 $\frac{1}{2} T_{n}=\frac{3}{2}+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}} \ldots+\frac{1}{2^{n-1}}\right)-\frac{2 n+1}{2^{n+1}}$
所以 $\quad T_{n}=5-\frac{2 n+5}{2^{n}}$

【解答】
解：（I）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，
由题意知：$a_{1}(1+q)=6, a_{1}^{2} q=a_{1} q^{2}$ ，
又 $\quad a_{n}>0$ ，
解得：$a_{1}=2, q=2$ ，
所以 $a_{n}=2^{n}$ ．
（II）由题意知：$S_{2 n+1}=\frac{(2 n+1)\left(b_{1}+b_{2 n+1}\right)}{2}=(2 n+1) b_{n+1}$ ，
又 $S_{2 n+1}=b_{n} b_{n+1}, b_{n+1} \neq 0$ ，
所以 $b_{n}=2 n+1$ ．
令 $c_{n}=\frac{b_{n}}{a_{n}}$ ，
则 $c_{n}=\frac{2 n+1}{2^{n}}$
因此 $T_{n}=c_{1}+c_{2}+\cdots+c_{n}$

$$ =\frac{3}{2}+\frac{5}{2^{2}}+\frac{7}{3^{3}}+\frac{2 n-1}{2^{n-1}}+\frac{2 n+1}{2^{n}}, $$

又 $\frac{1}{2} T_{n}=\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{2^{3}}+\frac{7}{2^{4}}+\cdots+\frac{2 n-1}{2^{n}}+\frac{2 n+1}{2^{n+1}}$ ，
两式相减得 $\frac{1}{2} T_{n}=\frac{3}{2}+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\right)-\frac{2 n+1}{2^{n+1}}$ ，
所以 $T_{n}=5-\frac{2 n+5}{2^{n}}$ ．

【解答】
（本小题满分 12 分）

已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $a_{1}+a_{2}=6, a_{1} a_{2}=a_{3}$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）$\left\{b_{n}\right\}$ 为各项非零的等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．已知 $S_{2 n+1}=b_{n} b_{n+1}$ ，求数列 $\left\{\frac{b_{n}}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T$ 。