（12分）（2008•陕西）已知数列 a _ n 的首项…——2008 高考数学第 20 题答案解析

【考点】数列递推式；等比关系的确定；数列的求和．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】①化简 $a_{n+1}=\frac{2 a_{n}}{a_{n}+1}$ 构造新的数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}-1\right\}$ ，进而证明数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}-1\right\}$ 是等比数列．
②根据①求出数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}-1\right\}$ 的递推公式，得出 $a_{n}$ ，进而构造数列 $\left\{\frac{n}{a_{n}}\right\}$ ，求出数列 $\left\{\frac{n}{a_{n}}\right\}$ 的通项公式 ，进而求出前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ．

【解答】解：（I）由已知：$a_{n+1}=\frac{2 a_{n}}{a_{n}+1}$ ，
$\therefore \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_{n}+1}{2 a_{n}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a_{n}}$ ，
$\therefore \frac{1}{a_{n+1}}-1=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a_{n}}-1\right)$ ，
又 $\mathrm{a}_{1}=\frac{2}{3}, \therefore \frac{1}{\mathrm{a}_{1}}-1=\frac{1}{2}$ ，
∴ 数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}-1\right\}$ 是以 $\frac{1}{2}$ 为首项，$\frac{1}{2}$ 为公比的等比数列。（6分）
（II）由（I）知 $\frac{1}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}-1=\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{n}-1}=\frac{1}{2^{\mathrm{n}}}$ ，
即 $\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{2^{n}}+1, \therefore \frac{n}{a_{n}}=\frac{n}{2^{n}}+n$ ．（8分）

设 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^{2}}+\frac{3}{2^{3}}+\cdots+\frac{\mathrm{n}}{2^{\mathrm{n}}}$ ，①
则 $\frac{1}{2} \mathrm{~T}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{2^{2}}+\frac{2}{2^{3}}+\cdots+\frac{\mathrm{n}-1}{2^{\mathrm{n}}}+\frac{\mathrm{n}}{2^{\mathrm{n}+1}}$ ，

由①－②得：$\frac{1}{2} T_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}-\frac{n}{2^{n+1}}=\frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{2^{n+1}}=1-\frac{1}{2^{n}}-\frac{n}{2^{n+1}}$ ，（10分）
$\therefore T_{n}=2-\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{n}{2^{n}}$ ．又 $1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$.
∴ 数列 $\left\{\frac{n}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和：$S_{n}=2-\frac{2+n}{2^{n}}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^{2}+n+4}{2}-\frac{2+n}{2^{n}}$ ．

【点评】此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前 n 项和的方法．