（5分）曲线 y=e^ -2 x +1 在点（0,2）处的…——2011 高考数学第 8 题答案解析

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】11：计算题．
【分析】根据导数的几何意义求出函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与 y 轴和直线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}$ 的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可。

【解答】解：$\because y=e^{-2 x}+1 \therefore y^{\prime}=(-2) e^{-2 x}$
$\left.\therefore y^{\prime}\right|_{x=0}=\left.(-2) e^{-2 x}\right|_{x=0}=-2$
∴ 曲线 $y=e^{-2 x}+1$ 在点 $(0,2)$ 处的切线方程为 $y-2=-2(x-0)$ 即 $2 x+y-2=0$
令 $y=0$ 解得 $x=1$ ，令 $y=x$ 解得 $x=y=\frac{2}{3}$
∴ 切线与直线 $\mathrm{y}=0$ 和 $\mathrm{y}=\mathrm{x}$ 围成的三角形的面积为 $\frac{1}{2} \times 1 \times \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$
故选：A．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题．