2026_北京卷
19. 已知椭圆 $E : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的一个顶点是(2,0)，离心率为 $\textstyle { \frac { 1 } { 2 } }$
(I) 求E的方程;
(II)过点A(1,1)作斜率为k(k≠±1)的直线交E于B,C两点。设D为B关于直线 $y = x$ 的对称点，直线DC交y=x于点Q。若 $| S _ { \Delta i B Q } - S _ { \Delta i C Q } | = \frac { 5 } { 8 }$ ,求k的值.
【解析】(I)过(2,0)得 $a = 2 ; \mathrm { e } = { \frac { c } { a } } = { \frac { 1 } { 2 } } \Rightarrow c = 1 , b ^ { 2 } = a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = 3$ 。故 $E : \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1$
(II)注意A(1,1)在直线 $y = x$ 上,Q也在 $y = x \perp$
故A，Q同在y=x上,△ABQ与 $\triangle A C Q$ 以AQ(落在 $y = x \perp )$ 为公共底，
面积之差由B，C到直线y=x的“有向距离”决定。
设直线 $B C : y - 1 = k ( x - 1 )$ ，代入 $3 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 1 2$ ，设 $B ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , C ( x _ { 2 } , y _ { 2 } )$
得 $( 3 + 4 k ^ { 2 } ) x ^ { 2 } + 8 k ( 1 - k ) x + 4 ( 1 - k ) ^ { 2 } - 1 2 = 0 ,$
所以 $x _ { 1 } + x _ { 2 } = \frac { - 8 k ( 1 - k ) } { 3 + 4 k ^ { 2 } } , x _ { 1 } x _ { 2 } = \frac { 4 ( 1 - k ) ^ { 2 } - 1 2 } { 3 + 4 k ^ { 2 } }$
D为B关于 $y = x$ 的对称点 $D ( y _ { 1 } , x _ { 1 } )$ 。直线DC与 $y = x$ 交于 $Q ( q , q )$
整理(利用B，C在BC上)得 $q = \frac { 1 3 k + 1 1 } { 2 ( 4 k + 3 ) } \circ$
于是 $\left| S _ { \Delta i B Q } - S _ { \Delta i C Q } \right| = \frac { 5 \left| 1 - k ^ { 2 } \right| } { 2 ( 3 + 4 k ^ { 2 } ) }$
令其等于 $\frac { 5 } { 8 } : \frac { 5 | 1 - k ^ { 2 } | } { 2 ( 3 + 4 k ^ { 2 } ) } = \frac { 5 } { 8 } \Rightarrow 4 | 1 - k ^ { 2 } | = 3 + 4 k ^ { 2 } .$
√2当|k|≤1:4(1−k²)=3+4k²⇒8k²=1⇒k=±4
当 $| k | > 1 : 4 ( k ^ { 2 } - 1 ) = 3 + 4 k ^ { 2 } \Rightarrow - 4 = 3 ,$ 无解。
$$ k = \pm \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } $$