（13 分）已知 a_ n 是等差数列，满足 a_ 1 =…——2014 高考数学第 15 题答案解析

【考点】8E：数列的求和．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论；
（2）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前 $n$ 项和公式即可求得数列的和．

【解答】解：（1）$\because\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，满足 $a_{1}=3, a_{4}=12$ ，
$\therefore 3+3 d=12$ ，解得 $d=3$ ，
$\therefore a_{n}=3+(n-1) \times 3=3 n$ ．

设等比数列 $\left\{b_{n}-a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，则
$q^{3}=\frac{b_{4}-a_{4}}{b_{1}-a_{1}}=\frac{20-12}{4-3}=8, \quad \therefore q=2$,
$\therefore \mathrm{b}_{\mathrm{n}}-\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\left(\mathrm{b}_{1}-\mathrm{a}_{1}\right) \mathrm{q}^{\mathrm{n}-1}=2^{\mathrm{n}-1}$ ，
$\therefore b_{n}=3 n+2^{n-1}(n=1,2, \ldots)$ ．
②由（1）知 $b_{n}=3 n+2^{n-1} ~(n=1, ~ 2, ~ \ldots)$ 。
∵ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{3}{2} n(n+1)$ ，
数列 $\left\{2^{n-1}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $1 \times \frac{1-2^{n}}{1-2}=2^{n}-1$ ，
∴ 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{3}{2} n(n+1)+2^{n}-1$ 。
【点评】本题考查数列的通项公式和前 n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用。