（12分）设数列 a_ n 满足 a_ 1 +3 a_ 2…——2017 高考数学第 17 题答案解析

【考点】8E：数列的求和； 8 H ：数列递推式．
【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．
（2）$\frac{a_{n}}{2 n+1}=\frac{2}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n+1}$ ．利用裂项求和方法即可得出．
【解答】解：（1）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+3 a_{2}+\ldots+(2 n-1) a_{n}=2 n$ ．
$n \geq 2$ 时，$a_{1}+3 a_{2}+\ldots+(2 n-3) a_{n-1}=2(n-1)$ ．
$\therefore(2 n-1) a_{n}=2 . \quad \therefore a_{n}=\frac{2}{2 n-1}$ ．
当 $n=1$ 时，$\quad a_{1}=2$ ，上式也成立．
$\therefore \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{2}{2 \mathrm{n}-1}$ ．
②$\frac{a_{n}}{2 n+1}=\frac{2}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n+1}$ ．
∴ 数列 $\left\{\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{2 \mathrm{n}+1}\right\}$ 的前 n 项和 $=\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{2 \mathrm{n}-1}-\frac{1}{2 \mathrm{n}+1}\right)=1-\frac{1}{2 \mathrm{n}+1}=\frac{2 \mathrm{n}}{2 \mathrm{n}+1}$ ．
【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．