2009 高考数学第 17 题答案解析

20．（本小题满分 14 分）
已知点 $\left(1, \frac{1}{3}\right)$ 是函数 $f(x)=a^{x}(a>0$ ，且 $a \neq 1)$ 的图像上一点。等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $f(n)-c$ 。数列 $\left\{b_{n}\right\}\left(b_{n}>0\right)$ 的首项为 c ，且前 n 项和 $s_{n}$ 满足 $s_{n}-s_{n-1}=\sqrt{s_{n}}+\sqrt{s_{n-1}}(n \geqslant 2)$
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若数列 $\left\{\frac{1}{b_{n} b_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，问满足 $T_{n}>\frac{1000}{2009}$ 的最小正整数 $n$ 是多少？