（本小题满分 14 分） 已知点 (1, 1 3 ) 是函…——2009 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
（14分）（2009 • 广东）已知点 $\left(1, \frac{1}{2}\right)$ 是函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}^{\mathrm{x}}(\mathrm{a}>0$ ，且 $\mathrm{a} \neq 1)$ 的图象上一点，等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{f}(\mathrm{n})-\mathrm{c}$ ，数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}\left(\mathrm{b}_{\mathrm{n}}>0\right)$ 的首项为 c ，且前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 满足 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}-\mathrm{S}_{\mathrm{n}-1}=\sqrt{\mathrm{S}_{\mathrm{n}}}+\sqrt{\mathrm{S}_{\mathrm{n}-1}}(\mathrm{n} \geq 2)$ ．
（I）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 和 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）若数列 $\left\{\frac{1}{\mathrm{~b}_{\mathrm{n}} \mathrm{b}_{\mathrm{n}+1}}\right\}$ 前 n 项和为 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ ，问满足 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}>\frac{999}{2010}$ 的最小正整数 n 是多少？
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式；数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】①先根据点 $\left(1, \frac{1}{2}\right)$ 在 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}^{\mathrm{x}}$ 上求出 a 的值，从而确定函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的解析式 ，再由等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{f}(\mathrm{n})-\mathrm{c}$ 求出数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的公比和首项，得到数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；由数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n}-S_{n-1}=\sqrt{S_{n}}+\sqrt{S_{n-1}}$ 可得到数列 $\left\{\sqrt{S_{n}}\right\}$ 构成一个首项为 1 公差为 1 的等差数列，进而得到数列 $\left\{\sqrt{\mathrm{S}_{\mathrm{n}}}\right\}$ 的通项公式，再由 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\mathrm{S}_{\mathrm{n}}-\mathrm{S}_{\mathrm{n}-1}$ 可确定 $\{\mathrm{b} \mathrm{n}\}$ 的通项公式。

②先表示出 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ 再利用裂项法求得的表达式 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ ，根据 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}>\frac{999}{2010}$ 求得 n ．
【解答】解：（ I ）$\because f①=a=\frac{1}{2}$
$\therefore f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ ，
$\therefore \mathrm{a}_{1}=\mathrm{f}① \quad-\mathrm{c}=\frac{1}{2}-\mathrm{c}$ ，
$\therefore \mathrm{a}_{2}=[\mathrm{f}②-\mathrm{c}]-[\mathrm{f}(1)-\mathrm{c}]=-\frac{1}{4}, \mathrm{a}_{3}=[\mathrm{f}③-\mathrm{c}]-[\mathrm{f}②-\mathrm{c}]=-\frac{1}{8}$
又数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 成等比数列，
$a_{1}=\frac{a_{2}^{2}}{a_{3}}=-\frac{1}{2}$,
$\because \mathrm{a}_{1}=\frac{1}{2}-\mathrm{c}$
$\therefore-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-c, \quad \therefore c=1$
又公比 $q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{1}{2}$
所以 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{n}-1}=-\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{n}}, \mathrm{n} \in \mathrm{N}$ ；
$\because S_{n}-S_{n-1}=\left(\sqrt{S_{n}}+\sqrt{S_{n-1}}\right) \quad\left(\sqrt{S_{n}}-\sqrt{S_{n-1}}\right)=\sqrt{S_{n}}+\sqrt{S_{n-1}}(n \geq 2)$
又 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}>0, \sqrt{\mathrm{~S}_{\mathrm{n}}}>0, \therefore \sqrt{\mathrm{~S}_{\mathrm{n}}}-\sqrt{\mathrm{S}_{\mathrm{n}-1}}=1$ ；
∴ 数列 $\left\{\sqrt{\mathrm{S}_{\mathrm{n}}}\right\}$ 构成一个首项为 1 公差为 1 的等差数列，
$\therefore \sqrt{\mathrm{S}_{\mathrm{n}}}=1+(\mathrm{n}-1) \times 1=\mathrm{n}, \quad \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{n}^{2}$
当 $n \geq 2, b_{n}=S_{n}-S_{n-1}=n^{2}-(n-1)^{2}=2 n-1$ ；
又 $\mathrm{b}_{1}=\mathrm{c}=1$ 适合上式，$\therefore \mathrm{b}_{\mathrm{n}}=2 \mathrm{n}-1 \quad(\mathrm{n} \in \mathrm{N})$ ；
（II） $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{\mathrm{~b}_{1} \mathrm{~b}_{2}}+\frac{1}{\mathrm{~b}_{2} \mathrm{~b}_{3}}+\ldots+\frac{1}{\mathrm{~b}_{\mathrm{n}} \mathrm{b}_{\mathrm{n}+1}}=\frac{1}{1 \times 3}+\frac{1}{3 \times 5}+\frac{1}{5 \times 7}+\cdots+\frac{1}{(2 \mathrm{n}-1) \times(2 \mathrm{n}+1)}$
$=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\ldots+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n+1}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2 n+1}\right)=\frac{n}{2 n+1}$
由 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2 \mathrm{n}+1}>\frac{999}{2010}$ ，得 $\mathrm{n}>\frac{333}{4}$
满足 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}>\frac{999}{2010}$ 的最小正整数为 84 ．
【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式及数列的求和问题．考查学生综合分析问题的能力。