2016_新课标 II 卷 (2016·文)
17．（12分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{3}+a_{4}=4, a_{5}+a_{7}=6$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $b_{n}=\left[a_{n}\right]$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 10 项和，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[0.9]=0,[2.6]=2$ 。
【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式．
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列
【分析】（I）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案；
（II）根据 $b_{n}=\left[a_{n}\right]$ ，列出数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 10 项，相加可得答案。
【解答】解：（I）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，
$\because a_{3}+a_{4}=4, \quad a_{5}+a_{7}=6$.
$\therefore\left\{\begin{array}{l}2 a_{1}+5 d=4 \\ 2 a_{1}+10 d=6\end{array}\right.$ ，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a_{1}=1 \\ d=\frac{2}{5}\end{array}\right.$ ，
$\therefore \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{2}{5} \mathrm{n}+\frac{3}{5}$ ；
（II）$\because \mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\left[\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right]$ ，
$\therefore \mathrm{b}_{1}=\mathrm{b}_{2}=\mathrm{b}_{3}=1$ ，
$\mathrm{b}_{4}=\mathrm{b}_{5}=2$ ，
$\mathrm{b}_{6}=\mathrm{b}_{7}=\mathrm{b}_{8}=3$,
$\mathrm{b}_{9}=\mathrm{b}_{10}=4$ ．
故数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 10 项和 $\mathrm{S}_{10}=3 \times 1+2 \times 2+3 \times 3+2 \times 4=24$ ．
【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档。