（本小题满分 14 分） 各项均为正数的数列 a_ n ,…——2009 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
解：（1）由 $\frac{a_{m}+a_{n}}{\left(1+a_{m}\right)\left(1+a_{n}\right)}=\frac{a_{p}+a_{q}}{\left(1+a_{p}\right)\left(1+a_{q}\right)}$ 得
$\frac{a_{1}+a_{n}}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{n}\right)}=\frac{a_{2}+a_{n-1}}{\left(1+a_{2}\right)\left(1+a_{n-1}\right)}$ ．将 $a_{1}=\frac{1}{2}, a_{2}=\frac{4}{5}$ 代入化简得

$$ a_{n}=\frac{2 a_{n-1}+1}{a_{n-1}+2} $$

所以 $\frac{1-a_{n}}{1+a_{n}}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1-a_{n-1}}{1+a_{n-1}}$ ，
故数列 $\left\{\frac{1-a_{n}}{1+a_{n}}\right\}$ 为等比数列，从而
$\frac{1-a_{n}}{1+a_{n}}=\frac{1}{3^{n}}$ ，即 $a_{n}=\frac{3^{n}-1}{3^{n}+1}$.
可验证，$a_{n}=\frac{3^{n}-1}{3^{n}+1}$ 满足题设条件．
（2）由题设 $\frac{a_{m}+a_{n}}{\left(1+a_{m}\right)\left(1+a_{n}\right)}$ 的值仅与 $m+n$ 有关，记为 $b_{m+n}$ ，则

$$ b_{n+1}=\frac{a_{1}+a_{n}}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{n}\right)}=\frac{a+a_{n}}{(1+a)\left(1+a_{n}\right)} . $$

考察函数 $f(x)=\frac{a+x}{(1+a)(1+x)}(x>0)$ ，则在定义域上有
$f(x) \geq g(a)=\left\{\begin{array}{lc}\frac{1}{1+a}, & a>1 \\ \frac{1}{2}, & a=1 \\ \frac{a}{1+a}, & 0故对 $n \in N^{*}, \quad b_{n+1} \geq g(a)$ 恒成立
又 $b_{2 n}=\frac{2 a_{n}}{\left(1+a_{n}\right)^{2}} \geq g(a)$ ，
注意到 $0$\frac{g(a)}{1-g(a)+\sqrt{1-2 g(a)}}=\frac{1-g(a)-\sqrt{1-2 g(a)}}{g(a)} \leq a_{n} \leq \frac{1-g(a)+\sqrt{1-2 g(a)}}{g(a)}$,
取 $\lambda=\frac{1-g(a)+\sqrt{1-2 g(a)}}{g(a)}$ ，即有 $\frac{1}{\lambda} \leq a_{n} \leq \lambda$ ．