2009 高考数学第 21 题答案解析

22．（本小题满分 14 分）
各项均为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}, a_{1}=a, a_{2}=b$ ，且对满足 $m+n=p+q$ 的正整数 $m, n, p, q$ 都有 $\frac{a_{m}+a_{n}}{\left(1+a_{m}\right)\left(1+a_{n}\right)}=\frac{a_{p}+a_{q}}{\left(1+a_{p}\right)\left(1+a_{q}\right)}$.
（1）当 $a=\frac{1}{2}, b=\frac{4}{5}$ 时，求通项 $a_{n}$ ；
（2）证明：对任意 $a$ ，存在与 $a$ 有关的常数 $\lambda$ ，使得对于每个正整数 $n$ ，都有 $\frac{1}{\lambda} \leq a_{n} \leq \lambda$.