（5分）等差数列 a_ n 的前 n 项和为 S_ n，已…——2013 高考数学第 16 题答案解析

【考点】6D：利用导数研究函数的极值；83：等差数列的性质；85：等差数列的前 n 项和．

【专题】16：压轴题；54：等差数列与等比数列．
【分析】由等差数列的前 $n$ 项和公式化简已知两等式，联立求出首项 $a_{1}$ 与公差 $d$的值，结合导数求出 $\mathrm{nS}_{\mathrm{n}}$ 的最小值．

【解答】解：设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ ，
$\because S_{10}=10 a_{1}+45 d=0, \quad S_{15}=15 a_{1}+105 d=25$ ，
$\therefore \mathrm{a}_{1}=-3, \quad \mathrm{~d}=\frac{2}{3}$ ，
$\therefore \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{na}_{1}+\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2} \mathrm{~d}=\frac{1}{3} \mathrm{n}^{2}-\frac{10}{3} \mathrm{n}$ ，
$\therefore \mathrm{nS}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{3} \mathrm{n}^{3}-\frac{10}{3} \mathrm{n}^{2}$ ，令 $\mathrm{nS}_{\mathrm{n}}=\mathrm{f}(\mathrm{n})$ ，
$\therefore f^{\prime}(n)=n^{2}-\frac{20}{3} n$ ，
∴ 当 $n=\frac{20}{3}$ 时，$f(n)$ 取得极值，当 $n<\frac{20}{3}$ 时，$f(n)$ 递减；当 $n>\frac{20}{3}$ 时，$f(n)$
递增；
因此只需比较 $f$（6）和 $f$（7）的大小即可。
$f(6)=-48, f(7)=-49$ ，
故 $\mathrm{nS}_{\mathrm{n}}$ 的最小值为 -49 ．
故答案为：－49．
【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前 n 项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．

三．