（21）（本小题满分 13 分） 设函数 f(x)= x…——2012 高考数学第 20 题答案解析

［解析］（I）$f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}+\cos x$ ，令 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}+\cos x=0$ ，可得 $x= \pm \frac{2 \pi}{3}+2 k \pi, k \in Z$ ，
又由极小值点定义 $f^{\prime}(x)>0 \Leftrightarrow 2 k \pi-\frac{2 \pi}{3}

$$ f^{\prime}(x)<0 \Leftrightarrow 2 k \pi+\frac{2 \pi}{3}

所以可判定 $x_{n}=-\frac{2 \pi}{3}+2 n \pi, n \in N_{+}$。
（II）由（I ）知 $S_{n}=-\frac{2 \pi}{3} n+2 \pi \times \frac{(n+1) n}{2}=(n+1) n \pi-\frac{2 n}{3} \pi$ ，
所以 $\sin S_{n}=\sin \left((n+1) n \pi-\frac{2 n}{3} \pi\right)=\sin \left(-\frac{2 n}{3} \pi\right)$ ，
即 $\sin S_{n}=\sin \left(-\frac{2 n}{3} \pi\right)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{\sqrt{3}}{2}, n=3 k+1 \\ \frac{\sqrt{3}}{2}, n=3 k+2, k \in N \\ 0, n=3 k\end{array}\right.$ ．
［考点定位］考查三角函数诱导公式，导数与极值，数列通项与求和。