已知函数 f(x)=a x- sin x cos ^ 2…——2023 高考数学第 20 题答案解析

【答案】①$f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递减
②$a \leq 0$

【解析】

【分析】（1）代入 $a=1$ 后，再对 $f(x)$ 求导，同时利用三角函数的平方关系化简 $f^{\prime}(x)$ ，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；
（2）法一：构造函数 $g(x)=f(x)+\sin x$ ，从而得到 $g(x)<0$ ，注意到 $g(0)=0$ ，从而得到 $g^{\prime}(0) \leq 0$ ，进而得到 $a \leq 0$ ，再分类讨论 $a=0$ 与 $a<0$ 两种情况即可得解；

法二：先化简并判断得 $\sin x-\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}<0$ 恒成立，再分类讨论 $a=0, a<0$ 与 $a>0$ 三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得 $a>0$ 时不满足题意，从而得解．

【小问 1 详解】

因为 $a=1$ ，所以 $f(x)=x-\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，
则 $f^{\prime}(x)=1-\frac{\cos x \cos ^{2} x-2 \cos x(-\sin x) \sin x}{\cos ^{4} x}=1-\frac{\cos ^{2} x+2 \sin ^{2} x}{\cos ^{3} x}$
$=\frac{\cos ^{3} x-\cos ^{2} x-2\left(1-\cos ^{2} x\right)}{\cos ^{3} x}=\frac{\cos ^{3} x+\cos ^{2} x-2}{\cos ^{3} x}$,
令 $t=\cos x$ ，由于 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，所以 $t=\cos x \in(0,1)$ ，
所以 $\cos ^{3} x+\cos ^{2} x-2=t^{3}+t^{2}-2=t^{3}-t^{2}+2 t^{2}-2=t^{2}(t-1)+2(t+1)(t-1)=\left(t^{2}+2 t+2\right)(t-1)$ ，
因为 $t^{2}+2 t+2=(t+1)^{2}+1>0, t-1<0, \cos ^{3} x=t^{3}>0$ ，
所以 $f^{\prime}(x)=\frac{\cos ^{3} x+\cos ^{2} x-2}{\cos ^{3} x}<0$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上恒成立，
所以 $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递减。

【小问 2 详解】

法一：
构建 $g(x)=f(x)+\sin x=a x-\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}+\sin x\left(0<x<\frac{\pi}{2}\right)$ ，
则 $g^{\prime}(x)=a-\frac{1+\sin ^{2} x}{\cos ^{3} x}+\cos x\left(0<x<\frac{\pi}{2}\right)$ ，
若 $g(x)=f(x)+\sin x<0$ ，且 $g(0)=f(0)+\sin 0=0$ ，
则 $g^{\prime}(0)=a-1+1=a \leq 0$ ，解得 $a \leq 0$ ，
当 $a=0$ 时，因为 $\sin x-\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}=\sin x\left(1-\frac{1}{\cos ^{2} x}\right)$ ，
又 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，所以 $0<\sin x<1,0<\cos x<1$ ，则 $\frac{1}{\cos ^{2} x}>1$ ，
所以 $f(x)+\sin x=\sin x-\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}<0$ ，满足题意；
当 $a<0$ 时，由于 $0<x<\frac{\pi}{2}$ ，显然 $a x<0$ ，

所以 $f(x)+\sin x=a x-\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}+\sin x<\sin x-\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}<0$ ，满足题意；
综上所述：若 $f(x)+\sin x<0$ ，等价于 $a \leq 0$ ，
所以 $a$ 的取值范围为 $(-\infty, 0]$ ．
法二：
因为 $\sin x-\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}=\frac{\sin x \cos ^{2} x-\sin x}{\cos ^{2} x}=\frac{\sin x\left(\cos ^{2} x-1\right)}{\cos ^{2} x}=-\frac{\sin ^{3} x}{\cos ^{2} x}$ ，
因为 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，所以 $0<\sin x<1,0<\cos x<1$ ，

故 $\sin x-\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}<0$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上恒成立，
所以当 $a=0$ 时，$f(x)+\sin x=\sin x-\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}<0$ ，满足题意；
当 $a<0$ 时，由于 $0<x<\frac{\pi}{2}$ ，显然 $a x<0$ ，
所以 $f(x)+\sin x=a x-\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}+\sin x<\sin x-\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}<0$ ，满足题意；
当 $a>0$ 时，因为 $f(x)+\sin x=a x-\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}+\sin x=a x-\frac{\sin ^{3} x}{\cos ^{2} x}$ ，
令 $g(x)=a x-\frac{\sin ^{3} x}{\cos ^{2} x}\left(0<x<\frac{\pi}{2}\right)$ ，则 $g^{\prime}(x)=a-\frac{3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x+2 \sin ^{4} x}{\cos ^{3} x}$ ，
注意到 $g^{\prime}(0)=a-\frac{3 \sin ^{2} 0 \cos ^{2} 0+2 \sin ^{4} 0}{\cos ^{3} 0}=a>0$ ，
若 $\forall 0<x<\frac{\pi}{2}, g^{\prime}(x)>0$ ，则 $g(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增，
注意到 $g(0)=0$ ，所以 $g(x)>g(0)=0$ ，即 $f(x)+\sin x>0$ ，不满足题意；

若 $\exists 0<x_{0}<\frac{\pi}{2}, g^{\prime}\left(x_{0}\right)<0$ ，则 $g^{\prime}(0) g^{\prime}\left(x_{0}\right)<0$ ，

所以在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上最靠近 $x=0$ 处必存在零点 $x_{1} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，使得 $g^{\prime}\left(x_{1}\right)=0$ ，

此时 $g^{\prime}(x)$ 在 $\left(0, x_{1}\right)$ 上有 $g^{\prime}(x)>0$ ，所以 $g(x)$ 在 $\left(0, x_{1}\right)$ 上单调递增，
则在 $\left(0, x_{1}\right)$ 上有 $g(x)>g(0)=0$ ，即 $f(x)+\sin x>0$ ，不满足题意；
综上：$a \leq 0$ ．
【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论 $a>0$ 这种情况的关键是，注意到 $g^{\prime}(0)>0$ ，从而分类讨论 $g^{\prime}(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的正负情况，得到总存在靠近 $x=0$ 处的一个区间，使得 $g^{\prime}(x)>0$ ，从而推得存在 $g(x)>g(0)=0$ ，由此得解．