15．（5分）已知抛物线 $\mathrm{C}: \mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px} ~(\mathrm{p}>0) ~$ 的准线，过 $\mathrm{M}(1,0)$ 且斜率为 $\sqrt{3}$的直线与 $I$ 相交于 $A$ ，与 $C$ 的一个交点为 $B$ ，若 $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ ，则 $p=$
参考答案
2
（5分）已知抛物线 C : y ^ 2 =2 px ~(…——2010 高考数学第 15 题答案解析
2010_旧全国 II 卷 (2010·理)
题目指纹
这道题真正考什么？
核心知识
抛物线
核心考法
化归与转化数形结合
关键能力
应用填空题
最容易错
范围错误漏解
难度
区分题
先及格路线 · 圆锥曲线综合 · 中等题
如果目标是先及格，这道题现在可以先放。
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
下一步
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同知识点
同一个知识，换种问法
匹配依据：抛物线同考法
换个题面，方法仍然适用
匹配依据：化归与转化完整解析 · 逐步详解
【考点】K8：抛物线的性质．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设直线 $A B$ 的方程与抛物线方程联立消去 $y$ 得 $3 x^{2}+(-6-2 p) x+3=0$ ，进而根据 $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ ，可知 M 为 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 的中点，
可得 p 的关系式，解方程即可求得 p ．
【解答】解：设直线 $A B$ ：$y=\sqrt{3} x-\sqrt{3}$ ，代入 $y^{2}=2 p x$ 得 $3 x^{2}+(-6-2 p) x+3=0$ ，
又 $\because \overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ ，即 M 为 A 、 B 的中点，
$\therefore \mathrm{x}_{\mathrm{B}}+\left(-\frac{\mathrm{p}}{2}\right)=2$ ，即 $\mathrm{x}_{\mathrm{B}}=2+\frac{\mathrm{p}}{2}$ ，
得 $p^{2}+4 p-12=0$ ，
解得 $p=2, p=-6$（舍去）
故答案为： 2
【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．
✅ 来源：2010年 · 全国 · 2010_旧全国 II 卷 (2010·理) · 第 15 题 · 本题已通过全部自动发布校验
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已知抛物线 $C: y^{2}=8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在 $C$ 上．若 $M$ 到直线 $x=-3$ 的距离为 5 ，则 $|M F|=$
2018 区分题 · 2018_上海卷 (2018)
（本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分）
利用＂平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线＂的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点 $\mathrm{O} , \mathrm{~A} , \mathrm{~B}$ 在抛物线上， OC 是抛物线的对称轴，$O C \perp A B$于 $\mathrm{C}, \mathrm{AB}=3$ 米， $\mathrm{OC}=4.5$ 米．
（1）求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）在图3 中，已知 OC 平行于圆锥的母线 $\mathrm{SD}, \mathrm{AB} , \mathrm{DE}$ 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到 $0.01^{\circ}$ ）。
（图 1）
（图2）
（图3）
2019 区分题 · 2019_上海卷 (2019)
已知抛物线 $y^{2}=4 x, F$ 为焦点，$P$ 为准线 $l$ 上一动点，线段 $P F$ 与抛物线交于点 $Q$ ，定义 $d(P)=\frac{|F P|}{|F Q|}$ ．
（1）若点 $P$ 坐标为 $\left(-1,-\frac{8}{3}\right)$ ，求 $d(P)$ ；
（2）求证：存在常数 $a$ ，使得 $2 d(P)=|F P|+a$ 恒成立；
③设 $P_{1} , P_{2} , P_{3}$ 为准线 $l$ 上的三点，且 $\left|P_{1} P_{2}\right|=\left|P_{2} P_{3}\right|$ ，试比较 $d\left(P_{1}\right)+d\left(P_{3}\right)$ 与 $2 d\left(P_{2}\right)$ 的大小。