15．（5分）已知抛物线 $\mathrm{C}: \mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px} ~(\mathrm{p}>0) ~$ 的准线，过 $\mathrm{M}(1,0)$ 且斜率为 $\sqrt{3}$的直线与 $I$ 相交于 $A$ ，与 $C$ 的一个交点为 $B$ ，若 $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ ，则 $p=$
参考答案
2
（5分）已知抛物线 C : y ^ 2 =2 px ~(…——2010 高考数学第 15 题答案解析
2010_旧全国 II 卷 (2010·理)
完整解析 · 逐步详解
【考点】K8：抛物线的性质．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设直线 $A B$ 的方程与抛物线方程联立消去 $y$ 得 $3 x^{2}+(-6-2 p) x+3=0$ ，进而根据 $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ ，可知 M 为 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 的中点，
可得 p 的关系式，解方程即可求得 p ．
【解答】解：设直线 $A B$ ：$y=\sqrt{3} x-\sqrt{3}$ ，代入 $y^{2}=2 p x$ 得 $3 x^{2}+(-6-2 p) x+3=0$ ，
又 $\because \overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ ，即 M 为 A 、 B 的中点，
$\therefore \mathrm{x}_{\mathrm{B}}+\left(-\frac{\mathrm{p}}{2}\right)=2$ ，即 $\mathrm{x}_{\mathrm{B}}=2+\frac{\mathrm{p}}{2}$ ，
得 $p^{2}+4 p-12=0$ ，
解得 $p=2, p=-6$（舍去）
故答案为： 2
【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．
✅ 来源：2010年 · 全国 · 2010_旧全国 II 卷 (2010·理) · 第 15 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
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（II）若直线 AF 交抛物线于另一点 B ，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 $N$ ，$A N$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ ，求 $M$ 的横坐标的取值范围。
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