（15分）（2016•浙江）如图，设抛物线 y ^ 2 =…——2016 高考数学第 19 题答案解析

【分析】（I）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得 p 值；
（II）设出直线 AF 的方程，与拖物线联立，求出 B 的坐标，求出直线 $\mathrm{AB}, \mathrm{FN}$ 的斜率，从而求出直线 $B N$ 的方程，根据 $A , M , N$ 三点共线，可求出 $M$ 的横坐标的表达式，从而求出 $m$ 的取值范围。
【解答】解：（I ）由题意可得，抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于 A 到直线 $\mathrm{x}=-1$ 的距离，由抛物线定义得，$\frac{\mathrm{p}}{2}=1$ ，即 $\mathrm{p}=2$ ；
（II）由（I）得，抛物线方程为 $y^{2}=4 x, F(1,0)$ ，可设 $\left(t^{2}, 2 t\right), t \neq 0, t \neq \pm 1$ ，
∵ AF 不垂直 y 轴，
∴ 设直线 $A F: x=s y+1(s \neq 0)$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=4 x \\ x=s y+1\end{array}\right.$ ，得 $y^{2}-4 s y-4=0$ ．
$\mathrm{y}_{1} \mathrm{y}_{2}=-4$ ，
$\therefore B\left(\frac{1}{t^{2}},-\frac{2}{t}\right)$ ，
又直线 AB 的斜率为 $\frac{2 \mathrm{t}}{\mathrm{t}^{2}-1}$ ，故直线 FN 的斜率为 $\frac{\mathrm{t}^{2}-1}{2 \mathrm{t}}$ ，
从而得 $F N: y=-\frac{t^{2}-1}{2 t}(x-1)$ ，直线 $B N: y=-\frac{2}{t}$ ，
则 $N\left(\frac{t^{2}+3}{t^{2}-1},-\frac{2}{t}\right)$ ，

设 $M(m, 0)$ ，由 $A , M , N$ 三点共线，得 $\frac{2 t}{t^{2}-m}=\frac{2 t+\frac{2}{t}}{t^{2}-\frac{t^{2}+3}{t^{2}-1}}$ ，
于是 $m=\frac{2 t^{2}}{t^{2}-1}=\frac{2}{1-\frac{1}{t^{2}}}$ ，得 $m<0$ 或 $m>2$ ．
经检验，$m<0$ 或 $m>2$ 满足题意。
∴ 点 M 的横坐标的取值范围为 $(-\infty, 0) \cup(2,+\infty)$ ．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属中档题。