2016_退役省自主命题 (2016·文)
16、（12 分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 $[0,0.5), ~[0.5,1), ~ \cdots \cdots$ ［4，4．5］分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（I）求直方图中的 $a$ 值；
（II）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数．说明理由；
（III）估计居民月均用水量的中位数．
【答案】（ I ）$a=0.30$ ；（II） 36000 ；（III） 2.04 ．
## 【解析】
试题分析：（I）由高 × 组距 $=$ 频率，计算每组中的频率，因为所有频率之和为 1 ，计算出 $a$ 的值；（II）利用高 × 组距 $=$ 频率，先计算出每人月均用水量不低于 3 吨的频率，再利用频率 × 样本总数 $=$ 频数，计算所求人数；（III）将前 5 组的频率之和与前 4 组的频率之和进行比较，得出 $2 \leq x<2.5$ ，再进行计算。
试题解析：（I）由频率分布直方图，可知：月用水量在 $[0,0.5]$ 的频率为 $0.08 \times 0.5=0.04$ ．
同理，在 $[0.5,1),(1.5,2],[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)$ 等组的频率分别为 $0.08,0.21,0.25,0.06,0.04$ ， 0．02．
由 $1-(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5 \times a+0.5 \times a$ ，
解得 $a=0.30$ ．
（ II ）由（ I ），100 位居民月均水量不低于 3 吨的频率为 $0.06+0.04+0.02=0.12$ ．
由以上样本的频率分布，可以估计 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 $300000 \times 0.13=36000$ ．
（III）设中位数为 $x$ 吨．
因为前 5 组的频率之和为 $0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5$ ，
而前 4 组的频率之和为 $0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5$
所以 $2 \leq x<2.5$ ．
由 $0.50 \times(x-2)=0.5-0.48$ ，解得 $x=2.04$ ．
故可估计居民月均用水量的中位数为 2.04 吨。
考点：频率分布直方图、频率、频数的计算公式
【名师点晴】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力。在频率分布直方图中，第个小矩形面积就是相应的频率或概率，所有小矩形面积之和为 1 ，这是解题的关键，也是识图的基础．