如图，三棱锥 A-B C D 中， D A=D B=D C…——2023 高考数学第 20 题答案解析

【答案】（1）证明见解析；
②$\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．

## 【解析】

【分析】（1）根据题意易证 $B C \perp$ 平面 $A D E$ ，从而证得 $B C \perp D A$ ；
②由题可证 $A E \perp$ 平面 $B C D$ ，所以以点 $E$ 为原点，$E D, E B, E A$ 所在直线分别为 $x, y, z$ 轴，建立空间直角坐标系，再求出平面 $A B D, A B F$ 的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出．

## 【小问 1 详解】

连接 $A E, D E$ ，因为 $E$ 为 $B C$ 中点，$D B=D C$ ，所以 $D E \perp B C$①，

因为 $D A=D B=D C, \angle A D B=\angle A D C=60^{\circ}$ ，所以 $\triangle A C D$ 与 $\triangle A B D$ 均为等边三角形，
$\therefore A C=A B$ ，从而 $A E \perp B C$②，由①②，$A E \cap D E=E, A E, D E \subset$ 平面 $A D E$ ，
所以，$B C \perp$ 平面 $A D E$ ，而 $A D \subset$ 平面 $A D E$ ，所以 $B C \perp D A$ ．

## 【小问 2 详解】

不妨设 $D A=D B=D C=2, \because B D \perp C D, \therefore B C=2 \sqrt{2}, D E=A E=\sqrt{2}$ ．
$\therefore A E^{2}+D E^{2}=4=A D^{2}, \therefore A E \perp D E$ ，又 $\because A E \perp B C, D E \cap B C=E, D E, B C \subset$ 平面 $B C D$
$\therefore A E \perp$ 平面 $B C D$ ．

以点 $E$ 为原点，$E D, E B, E A$ 所在直线分别为 $x, y, z$ 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设 $D(\sqrt{2}, 0,0), A(0,0, \sqrt{2}), B(0, \sqrt{2}, 0), E(0,0,0)$ ，
设平面 $D A B$ 与平面 $A B F$ 的一个法向量分别为 $\overrightarrow{n_{1}}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), \overrightarrow{n_{2}}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ ，
二面角 $D-A B-F$ 平面角为 $\theta$ ，而 $\overrightarrow{A B}=(0, \sqrt{2},-\sqrt{2})$ ，
因为 $\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{D A}=(-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2})$ ，所以 $F(-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2})$ ，即有 $\overrightarrow{A F}=(-\sqrt{2}, 0,0)$ ，
$\therefore\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{2} x_{1}+\sqrt{2} z_{1}=0 \\ \sqrt{2} y_{1}-\sqrt{2} z_{1}=0\end{array}\right.$ ，取 $x_{1}=1$ ，所以 $\overrightarrow{n_{1}}=(1,1,1)$ ；
$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2} y_{2}-\sqrt{2} z_{2}=0 \\ -\sqrt{2} x_{2}=0\end{array}\right.$, 取 $y_{2}=1$, 所以 $\overrightarrow{n_{2}}=(0,1,1)$,
所以，$|\cos \theta|=\frac{\left|\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}}\right|}{\left|\overrightarrow{n_{1}}\right|\left|\overrightarrow{n_{2}}\right|}=\frac{2}{\sqrt{3} \times \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，从而 $\sin \theta=\sqrt{1-\frac{6}{9}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．
所以二面角 $D-A B-F$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．