（本题满分 10 分） 对于正整数 n ≥ 2，用 T_…——2009 高考数学第 22 题答案解析

［解析］［必做题］本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分 10 分。

（1）解：因为方程 $x^{2}+2 a x+b=0$ 有实数根，所以 $\Delta=4 a^{2}-4 b \geqslant 0$ ，即 $b \leqslant a^{2}$ ．
（i）当 $n \leqslant a \leqslant n^{2}$ 时，有 $n^{2} \leqslant a^{2}$ ，又 $b \in\left\{1,2, \cdots, n^{2}\right\}$ ，故总有 $b \leqslant a^{2}$ ，此时，$a$有 $n^{2}-n+1$ 种取法，$b$ 有 $n^{2}$ 种取法，所以共有 $\left(n^{2}-n+1\right) n^{2}$ 组有序数组 $(a, b)$ 满足条件；
（ii）当 $1 \leqslant a \leqslant n-1$ 时，满足 $1 \leqslant b \leqslant a^{2}$ 的 $b$ 有 $a^{2}$ 个，故共有 $1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+(n-1)^{2}=\frac{n(n-1)(2 n-1)}{6}$ 组有序数组 $(a, b)$ 满足条件．
由（i）（ii）可得 $T_{n^{2}}=\left(n^{2}-n+1\right) n^{2}+\frac{n(n-1)(2 n-1)}{6}=\frac{n\left(6 n^{3}-4 n^{2}+3 n+1\right)}{6}$ ，从而 $P_{n^{2}}=\frac{T_{z^{2}}}{n^{4}}=\frac{6 n^{3}-4 n^{2}+3 n+1}{6 n^{3}}$ ．
（2）证明：我们只需证明：对于随机选取的 $a, b \in\{1,2, \cdots, n\}$ ，方程 $x^{2}+2 a x+b=0$ 无实数根的概率 $1-P_{\mathrm{n}}<\frac{1}{\sqrt{n}}$ ．若方程 $x^{2}+2 a x+b=0$ 无实数根，则 $\Delta=4 a^{2}-4 b<0$ ，即 $a^{2}1-\frac{1}{\sqrt{n}}$ ．