椭圆 C: x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2 =…——2022 高考数学第 10 题答案解析

【答案】A

【解析】

【分析】设 $P\left(x_{1}, y_{1}\right)$ ，则 $Q\left(-x_{1}, y_{1}\right)$ ，根据斜率公式结合题意可得 $\frac{y_{1}^{2}}{-x_{1}^{2}+a^{2}}=\frac{1}{4}$ ，再根据 $\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1$ ，将 $y_{1}$ 用 $\boldsymbol{x}_{1}$ 表示，整理，再结合离心率公式即可得解．

【详解】解法 1：设而不求
设 $P\left(x_{1}, y_{1}\right)$ ，则 $Q\left(-x_{1}, y_{1}\right)$
则由 $k_{A P} \cdot k_{A Q}=\frac{1}{4}$ 得：$k_{A P} \cdot k_{A Q}=\frac{y_{1}}{x_{1}+a} \cdot \frac{y_{1}}{-x_{1}+a}=\frac{y_{1}^{2}}{-x_{1}^{2}+a^{2}}=\frac{1}{4}$ ，
由 $\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1$ ，得 $y_{1}^{2}=\frac{b^{2}\left(a^{2}-x_{1}^{2}\right)}{a^{2}}$ ，

所以 $\frac{\frac{b^{2}\left(a^{2}-x_{1}^{2}\right)}{a^{2}}}{-x_{1}^{2}+a^{2}}=\frac{1}{4}$ ，即 $\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{4}$ ，
所以椭圆 $C$ 的离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，故选 A．
解法 2：第三定义
设右端点为 B ，连接 PB ，由椭圆的对称性知：$k_{P B}=-k_{A Q}$
故 $k_{A P} \cdot k_{A Q}=k_{P A} \cdot-k_{A Q}=-\frac{1}{4}$ ，
由椭圆第三定义得：$k_{P A} \cdot k_{A Q}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}$ ，
故 $\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{4}$
所以椭圆 $C$ 的离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，故选 A．