2015_退役省自主命题 (2015·文)
20．设椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，点 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(a, 0)$ ，点 $B$ 的坐标为（ 0 ，
$b)$ ，点 $M$ 在线段 $A B$ 上，满足 $|B M|=2|M A|$ ，直线 $O M$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ ．
（I）求 $E$ 的离心率 $e$ ；
（II）设点 $C$ 的坐标为 $(0,-b), N$ 为线段 $A C$ 的中点，证明：$M N \perp A B$ ．
【答案】（I）$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$（II）详见解析．
## 【解析】
（I）解：由题设条件知，点 $M\left(\frac{2}{3} a, \frac{1}{3} b\right)$ ，又 $k_{O M}=\frac{\sqrt{5}}{10}$ 从而 $\frac{b}{2 a}=\frac{\sqrt{5}}{10}$ ．
进而 $a=\sqrt{5} b, c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=2 b$ ，故 $e=\frac{c}{a}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
（II）证：由 $N$ 是 $A C$ 的中点知，点 $N$ 的坐标为 $\left(\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)$ ，可得 $\overline{N M}=\left(\frac{a}{6}, \frac{5 b}{6}\right)$ ．
又 $A \dot{B}=(-a, b)$ ，从而有 $A \dot{B} \cdot N \dot{M}=-\frac{1}{6} a^{2}+\frac{5}{6} b^{2}=\frac{1}{6}\left(5 b^{2}-a^{2}\right)$
由（I）得计算结果可知 $a^{2}=5 b^{2}$ ，所以 $A \dot{B} \cdot N M=0$ ，故 $M N \perp A B$ ．
【考点定位】本题主要考查椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系等基础知识。
【名师点睛】本题主要将椭圆的性质与求椭圆的离心率相结合，同时考查了中点坐标公式，以及解析几何中直线与直线垂直的常用方法，本题考查了考生的基本运算能力和综合分析能力。