（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满…——2010 高考数学第 22 题答案解析

解析：①$x \in(-2,2)$ ；
②对任意两个不相等的正数 $a , b$ ，有 $a^{2} b+a b^{2}>2 a b \sqrt{a b}, ~ a^{3}+b^{3}>2 a b \sqrt{a b}$ ，因为 $\left|a^{2} b+a b^{2}-2 a b \sqrt{a b}\right|-\left|a^{3}+b^{3}-2 a b \sqrt{a b}\right|=-(a+b)(a-b)^{2}<0$ ，所以 $\left|a^{2} b+a b^{2}-2 a b \sqrt{a b}\right|<\left|a^{3}+b^{3}-2 a b \sqrt{a b}\right|$ ，即 $a^{2} b+a b^{2}$ 比 $a^{3}+b^{3}$ 接近 $2 a b \sqrt{a b}$ ；
（3）$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+\sin x, & x \in(2 k \pi-\pi, 2 k \pi) \\ 1-\sin x, & x \in(2 k \pi, 2 k \pi+\pi)\end{array}=1-|\sin x|, x \neq k \pi, k \in \mathbf{Z}\right.$,
$f(x)$ 是偶函数，$f(x)$ 是周期函数，最小正周期 $T=\pi$, 函数 $f(x)$ 的最小值为 0 ，函数 $f(x)$ 在区间 $\left[k \pi-\frac{\pi}{2}, k \pi\right)$ 单调递增，在区间 $\left(k \pi, k \pi+\frac{\pi}{2}\right]$ 单调递减，$k \in \mathbf{Z}$ ．

23 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8分．

已知椭圆 $\Gamma$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0), A(0, b) , B(0,-b)$ 和 $Q(a, 0)$ 为 $\Gamma$ 的三个顶

点．
（1）若点 $M$ 满足 $\overrightarrow{A M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A Q}+\overrightarrow{A B})$ ，求点 $M$ 的坐标；
②设直线 $l_{1}: y=k_{1} x+p$ 交椭圆 $\Gamma$ 于 $C , D$ 两点，交直线 $l_{2}: y=k_{2} x$ 于点 $E$ ．若 $k_{1} \cdot k_{2}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}$ ，证明：$E$ 为 $C D$ 的中点；
③设点 $P$ 在椭圆 $\Gamma$ 内且不在 $x$ 轴上，如何构作过 $P Q$ 中点 $F$ 的直线 $l$ ，使得 $l$ 与椭圆 $\Gamma$的两个交点 $P_{1} , P_{2}$ 满足 $\overrightarrow{P P_{1}}+\overrightarrow{P P_{2}}=\overrightarrow{P Q} \overrightarrow{P P_{1}}+\overrightarrow{P P_{2}}=\overrightarrow{P Q}$ ？令 $a=10, b=5$ ，点 $P$ 的坐标是 $(-8,-1)$ ，若椭圆 $\Gamma$ 上的点 $P_{1} , P_{2}$ 满足 $\overrightarrow{P P_{1}}+\overrightarrow{P P_{2}}=\overrightarrow{P Q}$ ，求点 $P_{1} , P_{2}$ 的坐标．

解析：（1）$M\left(\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)$ ；
（2）由方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=k_{1} x+p \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\end{array}\right.$ ，消 $y$ 得方程 $\left(a^{2} k_{1}^{2}+b^{2}\right) x^{2}+2 a^{2} k_{1} p x+a^{2}\left(p^{2}-b^{2}\right)=0$ ，

因为直线 $l_{1}: y=k_{1} x+p$ 交椭圆 $\Gamma$ 于 $C , D$ 两点，

所以 $\Delta>0$ ，即 $a^{2} k_{1}^{2}+b^{2}-p^{2}>0$ ，
设 $C\left(x_{1}, y_{1}\right) , D\left(x_{2}, y_{2}\right), C D$ 中点坐标为 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，
则 $\left\{\begin{array}{l}x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=-\frac{a^{2} k_{1} p}{a^{2} k_{1}^{2}+b^{2}} \\ y_{0}=k_{1} x_{0}+p=\frac{b^{2} p}{a^{2} k_{1}^{2}+b^{2}}\end{array}\right.$ ，
由方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=k_{1} x+p \\ y=k_{2} x\end{array}\right.$ ，消 $y$ 得方程 $\left(k_{2}-k_{1}\right) x=p$ ，
又因为 $k_{2}=-\frac{b^{2}}{a^{2} k_{1}}$ ，所以 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{p}{k_{2}-k_{1}}=-\frac{a^{2} k_{1} p}{a^{2} k_{1}^{2}+b^{2}}=x_{0} \\ y=k_{2} x=\frac{b^{2} p}{a^{2} k_{1}^{2}+b^{2}}=y_{0}\end{array}\right.$ ，
故 $E$ 为 $C D$ 的中点；
（3）因为点 $P$ 在椭圆 $\Gamma$ 内且不在 $x$ 轴上，所以点 $F$ 在椭圆 $\Gamma$ 内，可以求得直线 $O F$ 的斜率 $k_{2}$ ，由 $\overrightarrow{P P_{1}}+\overrightarrow{P P_{2}}=\overrightarrow{P Q}$ 知 $F$ 为 $P_{1} P_{2}$ 的中点，根据②可得直线 $l$ 的斜率 $k_{1}=-\frac{b^{2}}{a^{2} k_{2}}$ ，从而得直线 $l$ 的方程。

$F\left(1,-\frac{1}{2}\right)$ ，直线 $O F$ 的斜率 $k_{2}=-\frac{1}{2}$ ，直线 $l$ 的斜率 $k_{1}=-\frac{b^{2}}{a^{2} k_{2}}=\frac{1}{2}$ ，
解方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2} x-1 \\ \frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{25}=1\end{array}\right.$ ，消 $y: x^{2}-2 x-48=0$ ，解得 $P_{1}(-6,-4) , P_{2}(8,3)$ ．