函数基本性质的综合应用　·　历年高考数学真题与解析

15．关于定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $f(x)$ ，给出下列四个结论：
①存在在 $\mathbf{R}$ 上单调递增的函数 $f(x)$ 使得 $f(x)+f(2 x)=-x$ 恒成立；
②存在在 $\mathbf{R}$ 上单调递减的函数 $f(x)$ 使得 $f(x)-f(2 x)=x$ 恒成立；

③使得 $f(x)+f(-x)=\cos x$ 恒成立的函数 $f(x)$ 存在且有无穷多个；
④使得 $f(x)-f(-x)=\cos x$ 恒成立的函数 $f(x)$ 存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是 $\_\_\_\_$。

8．设函数 $f(x)=(x+a) \ln (x+b)$ ，若 $f(x) \geq 0$ ，则 $a^{2}+b^{2}$ 的最小值为 ()

8．已知函数为 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}, f(x)>f(x-1)+f(x-2)$ ，且当 $x<3$ 时 $f(x)=x$ ，则下列结论中一定正确的是（

12．已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$ ，记 $g(x)=f^{\prime}(x)$ ，若 $f\left(\frac{3}{2}-2 x\right)$ ， $g(2+x)$ 均为偶函数，则（ ）

14．已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}-x^{2}+2, x \leq 1, \\ x+\frac{1}{x}-1, x>1,\end{array}\right.$ 则 $f\left(f\left(\frac{1}{2}\right)\right)=$ $\_\_\_\_$ ；若当 $x \in[a, b]$ 时， $1 \leq f(x) \leq 3$ ，则 $b-a$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ ．

3．函数 $f(x)=\frac{\left|x^{2}-1\right|}{x}$ 的图像为（ ）

8．如图是下列四个函数中的某个函数在区间 $[-3,3]$ 的大致图像，则该函数是（ ）

10．设函数 $f(x)=x^{3}-\frac{1}{x^{3}}$ ，则 $f(x)$

16．关于函数 $f(x)=\sin x+\frac{1}{\sin x}$ 有如下四个命题：
①$f(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称．
②$f(x)$ 的图像关于原点对称．
③$f(x)$ 的图像关于直线 $x=\frac{\pi}{2}$ 对称．
④$f(x)$ 的最小值为 2 ．
其中所有真命题的序号是

9．设函数 $f(x)=\ln |2 x+1|-\ln |2 x-1|$ ，则 $f(x) ~(\quad)$

12．设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ ，满足 $f(x+1)=2 f(x)$ ，且当 $x \in(0,1]$ 时， $f(x)=x(x-1)$ 。若对任意 $x \in(-\infty, m]$ ，都有 $f(x) \geq-\frac{8}{9}$ ，则 $m$ 的取值范围是

12．（5分）已知 $f(x)$ 是定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数，满足 $f(1-x)=f 1+x)$ ，若 $f(1)=2$ ，则 $f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(50)=$

16．（5分）设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+1, x \leqslant 0 \\ 2^{x}, x>0\end{array}\right.$ ，则满足 $f(x)+f\left(x-\frac{1}{2}\right)>1$ 的 $x$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ $\left(-\frac{1}{4},+\infty\right)$ ．

5．（5 分）已知函数 $f(x)=3^{x}-\left(\frac{1}{3}\right) x$ ，则 $f(x)(\quad)$

5．（5 分）已知函数 $f(x)=3^{x}-\left(\frac{1}{3}\right) x$ ，则 $f(x)(\quad)$

14．已知函数 $f(x)$ 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 $0<x<1$ 时，$f(x)=4^{x}$ ，则 $f\left(-\frac{5}{2}\right)+f(1)=$

14．已知函数 $f(x)$ 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 $0<x<1$ 时，$f(x)=4^{x}$ ，则 $f\left(-\frac{5}{2}\right)+f(1)=$

18．设 $f(x), g(x), h(x)$ 是定义域为 $\mathbf{R}$ 的三个函数．对于命题：①若 $f(x)+g(x)$、 $f(x)+h(x), g(x)+h(x)$ 均是增函数，则 $f(x), g(x), h(x)$ 均是增函数；②若 $f(x)+g(x), f(x)+h(x), g(x)+h(x)$ 均是以 $T$ 为周期的函数，则 $f(x), g(x)$、 $h(x)$ 均是以 $T$ 为周期的函数，下列判断正确的是。

18．设 $f(x) , g(x) , h(x)$ 是定义域为 R 的三个函数，对于命题：①若 $f(x)+g(x)$ 、 $f(x)+h(x) , g(x)+h(x)$ 均是增函数，则 $f(x) , g(x) , h(x)$ 中至少有一个增函数；②若 $f(x)+g(x) , f(x)+h(x) , g(x)+h(x)$ 均是以 $T$ 为周期的函数，则 $f(x) , g(x)$ 、

$h(x)$ 均是以 $T$ 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）。

18．（15 分）（2016•浙江）已知 $\mathrm{a} \geq 3$ ，函数 $\mathrm{F}(\mathrm{x})=\min \left\{2|\mathrm{x}-1|, \mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{ax}+4 \mathrm{a}-2\right\}$ ，其中 min $(\mathrm{p}, \mathrm{q})= \begin{cases}\mathrm{p}, & \mathrm{p} \leqslant \mathrm{q} \\ \mathrm{q}, & \mathrm{p}>\mathrm{q}\end{cases}$
（I）求使得等式 $F(x)=x^{2}-2 a x+4 a-2$ 成立的 $x$ 的取值范围
（II）（i）求 $F$（ $x$ ）的最小值 $m$（a）
（ii）求 $\mathrm{F}(\mathrm{x})$ 在 $[0,6]$ 上的最大值 $\mathrm{M}(\mathrm{a})$

20．（15 分）（2016•浙江）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}+\frac{1}{\mathrm{x}+1}, \mathrm{x} \in[0,1]$ ，证明：
（ I ）$f(x) \geqslant 1-x+x^{2}$
（II）$\frac{3}{4}<f(x) \leqslant \frac{3}{2}$ ．

4．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是

5．设函数 $f(x)=\ln (1+x)-\ln (1-x)$，则 $f(x)$ 是

5、下列函数中，最小正周期为 $\pi$ 的奇函数是

9．设 $f(x)=x-\sin x$ ，则 $f(x)=(\quad)$

$A$ ．既是奇函数又是减函数
$B$ ．既是奇函数又是增函数
$C$ ．是有零点的减函数
D．是没有零点的奇函数

12．已知定义在 $[0,1]$ 上的函数 $f(x)$ 满足：
①$f(0)=f(1)=0$ ；
②对所有 $x, y \in[0,1]$ ，且 $x \neq y$ ，有 $|f(x)-f(y)|<\frac{1}{2}|x-y|$ ．若对所有 $x, y \in[0,1],|f(x)-f(y)|<k$ ，则 $k$ 的最小值为（ ）

12．（5分）奇函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f(x+2)$ 为偶函数，且 $f(1)=1$ ，则 $f(8)+f(9)=(\quad)$

15．以 $A$ 表示值域为 R 的函数组成的集合，$B$ 表示具有如下性质的函数 $\varphi(x)$ 组成的集合：对于函数

$\varphi(x)$，存在一个正数 $M$，使得函数 $\varphi(x)$ 的值域包含于区间 $[-M, M]$。例如，当 $\varphi_{1}(x)=x^{3}, \varphi_{2}(x)=\sin x$时，$\varphi_{1}(x) \in A, \varphi_{2}(x) \in B$。现有如下命题：
①设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，则＂$f(x) \in A$＂的充要条件是＂$\forall b \in R, \exists a \in D, f(a)=b$＂；
②函数 $f(x) \in B$ 的充要条件是 $f(x)$ 有最大值和最小值；
③若函数 $f(x), g(x)$ 的定义域相同，且 $f(x) \in A, g(x) \in B$，则 $f(x)+g(x) \notin B$；
④若函数 $f(x)=a \ln (x+2)+\frac{x}{x^{2}+1}(x>-2, a \in R)$ 有最大值，则 $f(x) \in B$．其中的真命题有 $\_\_\_\_$．（写出所有真命题的序号）

15．（5分）已知偶函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 单调递减，$f(2)=0$ ，若 $f(x-1) >0$ ，则 $x$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （－1，3）。

15．（5分）偶函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=2$ 对称，$f(3)=3$ ，则 $f(-1)=$
$\_\_\_\_$。

9．已知 $f(x)=\ln (1+x)-\ln (1-x), x \in(-1,1)$．现有下列命题：
①$f(-x)=-f(x)$；②$f\left(\frac{2 x}{x^{2}+1}\right)=2 f(x)$；③$|f(x)| \geq 2|x|$。其中的所有正确命题的序号是

3．（5 分）下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递减的是

（7）已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\boldsymbol{R}$ 上的偶函数，且在区间 $[0,+\infty)$ 上单调递增．若实数 $\boldsymbol{a}$ 满足 $f\left(\log _{2} a\right)+f\left(\log _{\frac{1}{2}} a\right) \leq 2 f(1)$ ，则 $a$ 的取值范围是

10．函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $[\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上有定义，若对任意 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \in[\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ ，有 $f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right) \leq \frac{1}{2}\left[f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)\right]$则称 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上具有性质 $P$ 。设 $f(x)$ 在 $[1,3]$ 上具有性质 $P$ ，现给出如下命题：
①$f(x)$ 在 $[1,3]$ 上的图像是连续不断的；
②$f(x)$ 在 $[1, \sqrt{3}]$ 上具有性质 $P$ ；
③若 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\mathrm{x}=2$ 处取得最大值 1 ，则 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=1, \mathrm{x} \in[1,3]$ ；
④对任意 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \mathrm{x}_{3}, \mathrm{x}_{4} \in[1,3]$ ，有 $f\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}\right) \leq \frac{1}{2}\left[f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+f\left(x_{3}\right)+f\left(x_{4}\right)\right]$其中真命题的序号是

16．函数 $f(x)$ 的定义域为 $A$ ，若 $x_{1}, x_{2} \in A$ 且 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ 时总有 $x_{1}=x_{2}$ ，则称 $f(x)$ 为单函数．例如，函数 $f(x)=2 x+1(x \in R)$ 是单函数．下列命题：

（1）函数 $f(x)=x^{2}(x \in R)$ 是单函数；
（2）若 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为单函数， $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \in \mathrm{~A}$ 且 $\mathrm{x}_{1} \neq \mathrm{x}_{2}$ ，则 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right) \neq \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)$ ；
（3）若 $\mathrm{f}: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ 为单函数，则对于任意 $\mathrm{b} \in \mathrm{B}$ ，它至多有一个原象；
（4）函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在某区间上具有单调性，则 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 一定是单函数．
其中的真命题是 $\_\_\_\_$。（写出所有真命题的编号）

9．给出下列三个命题：
①函数 $y=\frac{1}{2} \ln \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$ 与 $y=\ln \tan \frac{x}{2}$ 是同一函数；
②若函数 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称，则函数 $y=f(2 x)$ 与 $y=\frac{1}{2} g(x)$ 的图像也关于直线 $y=x$ 对称；
③若奇函数 $f(x)$ 对定义域内任意 x 都有 $f(x)=f(2-x)$ ，则 $f(x)$ 为周期函数。其中真命题是

9．（5分）设奇函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为增函数，且 $f(1)=0$ ，则不等式 $\frac{f(x)-f(-x)}{x}<0$ 的解集为（ ）