函数基本性质的综合应用　·　历年高考数学真题与解析

8．若定义在 $R$ 的奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 单调递减，且 $f(2)=0$ ，则满足 $x f(x-1) \geq 0$ 的 $x$ 的取值范围是

8．若定义在 $R$ 的奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 单调递减，且 $f(2)=0$ ，则满足 $x f(x-1) \geq 0$ 的 $x$ 的取值范围是（ ）

11．关于函数 $f(x)=\sin |x|+|\sin x|$ 有下述四个结论：
①$f(x)$ 是偶函数
②$f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 单调递增
③$f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 有 4 个零点
④$f(x)$ 的最大值为 2

其中所有正确结论的编号是

5．（5分）函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 单调递减，且为奇函数．若 $f(1)=-1$ ，则满足 $-1 \leq f(x-2) \leq 1$ 的 $x$ 的取值范围是（）

13．（5分）（2016•天津）已知 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 $(-\infty, 0)$ 上单调递增，若实数 a 满足 $\mathrm{f}\left(2^{|\mathrm{a}-1|}\right)>\mathrm{f}(-\sqrt{2})$ ，则 a 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

15．若函数 $f(x)=2^{|x-a|}(a \in R)$ 满足 $f(1+x)=f(1-x)$ ，且 $f(x)$ 在 $[m,+\infty)$ 单调递增，则实数 $m$ 的最小值等于

15．（5分）已知偶函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 单调递减，$f(2)=0$ ，若 $f(x-1) >0$ ，则 $x$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （－1，3）。

12．设函数 $f(x)$ 的定义域为 $R, x_{0}\left(x_{0} \neq 0\right)$ 是 $f(x)$ 的极大值点，以下结论一定正确的是

3．（5 分）下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递减的是

8．设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathrm{R}, x_{0}\left(x_{0} \neq 0\right)$ 是 $f(x)$ 的极大值点，以下结论

一定正确的是

21．（本小题满分 14 分）若函数 $h(x)$ 满足
（1）$h(0)=1, h(1)=0$ ；
（2）对任意 $a \in[0,1]$ ，有 $\mathrm{h}(\mathrm{h}(\mathrm{a}))=\mathrm{a}$ ；
（3）在 $(0,1)$ 上单调递减。

则称 $\mathrm{h}(\mathrm{x})$ 为补函数。已知函数 $h(x)=\left(\frac{1-x^{p}}{1+\lambda x^{p}}\right)^{\frac{1}{p}}(\lambda>-1, p>0)$ 。
（1）判断函数 $h(x)$ 是否为补函数，并证明你的结论；
（2）若存在 $m \in[0,1]$ ，使得 $h(m)=m$ ，若 $m$ 是函数 $h(x)$ 的中介元，记 $p=\frac{1}{n}(n \in N)$ 时 $h(x)$的中介元为 $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ ，且 $S_{\mathrm{n}}=\sum_{\mathrm{n}-1}^{\mathrm{n}} \mathrm{x}_{1}$ ，若对任意的 $n \in N_{+}$，都有 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}<\frac{1}{2}$ ，求 $\lambda$ 的取值范围；
（3）当 $\lambda=0, x \in(0,1)$ 时，函数 $\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x})$ 的图像总在直线 $\mathrm{y}=1-\mathrm{x}$ 的上方，求 P 的取值范围。

16．函数 $f(x)$ 的定义域为 $A$ ，若 $x_{1}, x_{2} \in A$ 且 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ 时总有 $x_{1}=x_{2}$ ，则称 $f(x)$ 为单函数．例如，函数 $f(x)=2 x+1(x \in R)$ 是单函数．下列命题：

（1）函数 $f(x)=x^{2}(x \in R)$ 是单函数；
（2）若 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为单函数， $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \in \mathrm{~A}$ 且 $\mathrm{x}_{1} \neq \mathrm{x}_{2}$ ，则 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right) \neq \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)$ ；
（3）若 $\mathrm{f}: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ 为单函数，则对于任意 $\mathrm{b} \in \mathrm{B}$ ，它至多有一个原象；
（4）函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在某区间上具有单调性，则 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 一定是单函数．
其中的真命题是 $\_\_\_\_$。（写出所有真命题的编号）

3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在 $(0,+\infty)$ 上单调递增的函数是 ）

22．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分。
若实数 $x , y , m$ 满足 $|x-m|<|y-m|$ ，则称 $x$ 比 $y$ 接近 $m$ ．
（1）若 $x^{2}-1$ 比3接近 0 ，求 $x$ 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数 $a , b$ ，证明：$a^{2} b+a b^{2}$ 比 $a^{3}+b^{3}$ 接近 $2 a b \sqrt{a b}$ ；
（3）已知函数 $f(x)$ 的定义域 $D\{x \mid x \neq k \pi, k \in Z, x \in R\}$ 。任取 $x \in D, f(x)$ 等于
$1+\sin x$ 和 $1-\sin x$ 中接近 0 的那个值．写出函数 $f(x)$ 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．

（9）．设抛物线 $y^{2}=2 \mathrm{x}$ 的焦点为 F ，过点 $\mathrm{M}(\sqrt{3}, 0)$ 的直线与抛物线相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，与抛物线的准线相交于 $\mathrm{C},|B F|=2$ ，则 $\triangle \mathrm{BCF}$ 与 $\triangle \mathrm{ACF}$ 的成面积之比 $\frac{S_{\triangle B C F}}{S_{\triangle A C F}}=$