2015_退役省自主命题 (2015·理)
17．某市 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两所中学的学生组队参加辩论赛， A 中学推荐 3 名男生，2名女生， B 中学推荐了 3 名男生， 4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人，女生中随机抽取 3 人组成代表队
（1）求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率．
（2）某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 $X$ 表示参赛的男生人数，求 $X$ 得分布列和数学期望。
【答案】①A 中学至少 1 名学生入选的概率为 $p=\frac{99}{100}$．
②$X$ 的分布列为：
| $X$ | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| $p$ | $\frac{1}{5}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{5}$ |
$X$ 的期望为 $E(X)=2$。
【解析】①由题意，参加集训的男女生各有 6 名．
参赛学生全从 B 中抽取（等价于 A 中没有学生入选代表队）的概率为 $\frac{C_{3}^{3} C_{4}^{3}}{C_{6}^{3} C_{6}^{3}}=\frac{1}{100}$．
因此，A 中学至少 1 名学生入选的概率为 $1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}$．
（2）根据题意，$X$ 的可能取值为 $1,2,3$．
$$ \begin{aligned} & P(X=1)=\frac{C_{3}^{1} C_{3}^{3}}{C_{6}^{4}}=\frac{1}{5} \\ & P(X=2)=\frac{C_{3}^{2} C_{3}^{2}}{C_{6}^{4}}=\frac{3}{5} \\ & P(X=3)=\frac{C_{3}^{3} C_{3}^{1}}{C_{6}^{4}}=\frac{1}{5} \end{aligned} $$
所以 $X$ 的分布列为：
| $X$ | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| $p$ | $\frac{1}{5}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{5}$ |
因此，$X$ 的期望为 $E(X)=1 \times \frac{1}{5}+2 \times \frac{3}{5}+3 \times \frac{1}{5}=2$。
【考点定位】本题考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算
求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力。
【名师点睛】应用问题一定要注意弄清题意，找出题中的关键字词。在本题中，就要分清楚集训队与代表队的区别。求概率时，如果直接求比较复杂，就应该先求其对立事件的概率。超几何分布和二项分布是中学中的两个重要概率分布，考生必须牢固掌握．本题的概率分布就是一个超几．何分布问题．