（13分）（2016 •天津）某小组共 10 人，利用假期…——2016 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
（13分）（ $2016 \cdot$ 天津）某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 $1,2,3$ 的人数分别为 $3,3,4$ ，现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会．
（1）设A为事件＂选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4 ＂，求事件A发生的概率；
②设 $X$ 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望 －
【分析】（1）选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4 为事件A，求出选出的 2 人参加义工活动次数之和的所有结果，即可求解概率。则 P （A）。
（2）随机变量 X 的可能取值为 $0,1,2$ ， 3 分别求出 $\mathrm{P}(\mathrm{X}=0), \mathrm{P}(\mathrm{X}=1), \mathrm{P}(\mathrm{X}=2), \mathrm{P}$ （ $X=3$ ）的值，由此能求出 $X$ 的分布列和 $E X$ 。

【解答】解：（1）从 10 人中选出 2 人的选法共有 $\mathrm{C}_{10}^{2}=45$ 种，
事件A：参加次数的和为 4 ，情况有：① 1 人参加 1 次，另 1 人参加 3 次，② 2 人都参加 2 次；共有 $\mathrm{C}_{3}^{1} \mathrm{C}_{4}^{1}+\mathrm{C}_{3}^{2}=15$ 种，
∴ 事件 A 发生概率： $\mathrm{P}=\frac{\mathrm{C}_{3}^{1} \mathrm{C}_{4}^{1}+\mathrm{C}_{3}^{2}}{\mathrm{C}_{10}^{2}}=\frac{1}{3}$ ．
（II） X 的可能取值为 $0,1,2$ 。
$P(X=0)=\frac{C_{3}^{2}+C_{3}^{2}+C_{4}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{4}{15}$
$P(X=1)=\frac{C_{3}^{1} C_{3}^{1}+C_{3}^{1} C_{4}^{1}}{C_{10}^{2}}=\frac{7}{15}$,
$P(X=2)=\frac{C_{3}^{1} C_{4}^{1}}{C_{10}^{2}}=\frac{4}{15}$,
$\therefore \mathrm{X}$ 的分布列为：

$\therefore \mathrm{EX}=0 \times \frac{4}{15}+1 \times \frac{7}{15}+2 \times \frac{4}{15}=1$ ．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年的高考中都是必考题型。解题时要认真审题，仔细解答，注意古典概型的灵活运用。