22．（本小题满分 14 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数，$b_{n}=n\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} a_{n}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right), e$ 为自然对数的底数．
（I）求函数 $f(x)=1+x-\mathrm{e}^{x}$ 的单调区间，并比较 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 与 $e$ 的大小；
（II）计算 $\frac{b_{1}}{a_{1}}, \frac{b_{1} b_{2}}{a_{1} a_{2}}, \frac{b_{1} b_{2} b_{3}}{a_{1} a_{2} a_{3}}$，由此推测计算 $\frac{b_{1} b_{2} \cdots b_{n}}{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}$ 的公式，并给出证明；
（III）令 $c_{n}=\left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)^{\frac{1}{n}}$，数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别记为 $S_{n}, T_{n}$，证明：$T_{n}
参考答案（I）$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty, 0)$，单调递减区间为 $(0,+\infty) .\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<\mathrm{e}$；（II）详见解析； （III）详见解析