2013 高考数学第 22 题答案解析

22．（3分 +5 分 +8 分）如图，已知曲线 $C_{1}: \frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$ ，曲线
$C_{2}:|y|=|x|+1, \mathrm{P}$ 是平面上一点，若存在过点 P 的直线与 $C_{1}, C_{2}$ 都有公共点，则称 P 为＂ $\mathrm{C}_{1}-\mathrm{C}_{2}$ 型点＂。
（1）在正确证明 $C_{1}$ 的左焦点是＂ $\mathrm{C}_{1}$ —
$\mathrm{C}_{2}$ 型点＂时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

②设直线 $y=k x$ 与 $C_{2}$ 有公共点，求证 $|k|>1$ ，进而证明原点不是＂ $\mathrm{C}_{1}-\mathrm{C}_{2}$ 型点＂；
（3）求证：圆 $x^{2}+y^{2}=\frac{1}{2}$ 内的点都不是＂ $\mathrm{C}_{1}-\mathrm{C}_{2}$ 型点＂．