2022_北京卷 (2022)
19．已知椭圆：$E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个顶点为 $A(0,1)$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ．
（1）求椭圆 $E$ 的方程；
（2）过点 $P(-2,1)$ 作斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $B, C$ ，直线 $A B, A C$ 分别与 $x$ 轴交于点 $M, N$ ，当 $|M N|=2$ 时，求 $k$ 的值．
【答案】①$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$
②$k=-4$
## 【解析】
【分析】（1）依题意可得 $\left\{\begin{array}{l}b=1 \\ 2 c=2 \sqrt{3} \\ c^{2}=a^{2}-b^{2}\end{array}\right.$ ，即可求出 $a$ ，从而求出椭圆方程；
（2）首先表示出直线方程，设 $B\left(x_{1}, y_{1}\right) , C\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线 $A B , A C$ 的方程，表示出 $x_{M} , x_{N}$ ，根据 $|M N|=\left|x_{N}-x_{M}\right|$ 得到方程，解得即可；
## 【小问 1 详解】
解：依题意可得 $b=1,2 c=2 \sqrt{3}$ ，又 $c^{2}=a^{2}-b^{2}$ ，
所以 $a=2$ ，所以椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ ；
【小问 2 详解】
解：依题意过点 $P(-2,1)$ 的直线为 $y-1=k(x+2)$ ，设 $B\left(x_{1}, y_{1}\right) , C\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，不妨令
$-2 \leq x_{1}
所以 $\Delta=\left(16 k^{2}+8 k\right)^{2}-4\left(1+4 k^{2}\right)\left(16 k^{2}+16 k\right)>0$ ，解得 $k<0$ ，
所以 $x_{1}+x_{2}=-\frac{16 k^{2}+8 k}{1+4 k^{2}}, x_{1} \cdot x_{2}=\frac{16 k^{2}+16 k}{1+4 k^{2}}$ ，
直线 $A B$ 的方程为 $y-1=\frac{y_{1}-1}{x_{1}} x$ ，令 $y=0$ ，解得 $x_{M}=\frac{x_{1}}{1-y_{1}}$ ，
直线 $A C$ 的方程为 $y-1=\frac{y_{2}-1}{x_{2}} x$ ，令 $y=0$ ，解得 $x_{N}=\frac{x_{2}}{1-y_{2}}$ ，
所以 $|M N|=\left|x_{N}-x_{M}\right|=\left|\frac{x_{2}}{1-y_{2}}-\frac{x_{1}}{1-y_{1}}\right|$
$=\left|\frac{x_{2}}{1-\left[k\left(x_{2}+2\right)+1\right]}-\frac{x_{1}}{1-\left[k\left(x_{1}+2\right)+1\right]}\right|$
$=\left|\frac{x_{2}}{-k\left(x_{2}+2\right)}+\frac{x_{1}}{k\left(x_{1}+2\right)}\right|$
$=\left|\frac{\left(x_{2}+2\right) x_{1}-x_{2}\left(x_{1}+2\right)}{k\left(x_{2}+2\right)\left(x_{1}+2\right)}\right|$
$=\frac{2\left|x_{1}-x_{2}\right|}{|k|\left(x_{2}+2\right)\left(x_{1}+2\right)}=2$ ，
所以 $\left|x_{1}-x_{2}\right|=|k|\left(x_{2}+2\right)\left(x_{1}+2\right)$ ，
即 $\sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}}=|k|\left[x_{2} x_{1}+2\left(x_{2}+x_{1}\right)+4\right]$
即 $\sqrt{\left(-\frac{16 k^{2}+8 k}{1+4 k^{2}}\right)^{2}-4 \times \frac{16 k^{2}+16 k}{1+4 k^{2}}}=|k|\left[\frac{16 k^{2}+16 k}{1+4 k^{2}}+2\left(-\frac{16 k^{2}+8 k}{1+4 k^{2}}\right)+4\right]$
即
$\frac{8}{1+4 k^{2}} \sqrt{\left(2 k^{2}+k\right)^{2}-\left(1+4 k^{2}\right)\left(k^{2}+k\right)}=\frac{|k|}{1+4 k^{2}}\left[16 k^{2}+16 k-2\left(16 k^{2}+8 k\right)+4\left(1+4 k^{2}\right)\right]$
整理得 $8 \sqrt{-k}=4|k|$ ，解得 $k=-4$