记双曲线 C: x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2…——2022 高考数学第 15 题答案解析

【答案】2（满足 $1<e \leq \sqrt{5}$ 皆可）

【解析】

【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线 $y= \pm \frac{b}{a} x$ 中 $0<\frac{b}{a} \leq 2$ 即可求得满足要求的 $e$ 值．
【详解】解：$C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ ，所以 $C$ 的渐近线方程为 $y= \pm \frac{b}{a} x$ ，
结合渐近线的特点，只需 $0<\frac{b}{a} \leq 2$ ，即 $\frac{b^{2}}{a^{2}} \leq 4$ ，

可满足条件＂直线 $y=2 x$ 与 $C$ 无公共点＂
所以 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}} \leq \sqrt{1+4}=\sqrt{5}$ ，
又因为 $e>1$ ，所以 $1<e \leq \sqrt{5}$ ，
故答案为： 2 （满足 $1<e \leq \sqrt{5}$ 皆可）