2013_退役省自主命题 (2013·理)
（18）（本小题满分 13 分，（I）小问 5 分，（II）小问 8 分）
某商场举行的＂三色球＂购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球，再从装有 1 个篮球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球，根据摸出 4 个球中红球与篮球的个数，设一、二、三等奖如下：
| 奖级 | 摸出红、蓝球个数 | 获奖金额 |
|---|---|---|
| 一等奖 | 3 红 1 蓝 | 200 元 |
| 二等奖 | 3 红 0 蓝 | 50 元 |
| 三等奖 | 2 红 1 蓝 | 10 元 |
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级。（I）求一次摸球恰好摸到 1 个红球的概率；
（II）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 $X$ 的分布列与期望 $E(X)$ 。
解析：设 $A_{i}$ 表示摸到 $i$ 个红球，$B_{j}$ 表示摸到 $j$ 个蓝球，则 $A_{i}(i=0,1,2,3)$ 与 $B_{j}(j=0,1)$ 独立
（I）恰好摸到 1 个红球的概率为 $p\left(A_{1}\right)=\frac{C_{3}^{1} C_{4}^{2}}{C_{7}^{3}}=\frac{18}{35}$
（II）$X$ 的所有可能值为： $0,10,50,200$ 且
$P(X=200)=P\left(A_{3} B_{1}\right)=P\left(A_{3}\right) P\left(B_{1}\right)=\frac{C_{3}^{3}}{C_{7}^{3}} \frac{1}{3}=\frac{1}{105}$
$P(X=50)=P\left(A_{3} B_{0}\right)=P\left(A_{3}\right) P\left(B_{0}\right)=\frac{C_{3}^{3}}{C_{7}^{3}} \cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{105}$
$P(X=10)=P\left(A_{2} B_{1}\right)=P\left(A_{2}\right) P\left(B_{1}\right)=\frac{C_{3}^{2} C_{4}^{1}}{C_{7}^{3}} \cdot \frac{1}{3}=\frac{12}{105}=\frac{4}{35}$
$P(X=1)=1-\frac{1}{105}-\frac{2}{105}-\frac{12}{105}=\frac{6}{7}$
综上知 $X$ 的分布列为
| $X$ | 0 | 10 | 50 | 200 |
|---|---|---|---|---|
| $p$ | $\frac{6}{7}$ | $\frac{4}{35}$ | $\frac{2}{105}$ | $\frac{1}{105}$ |
从而有 $E(X)=0 \times \frac{6}{7}+10 \times \frac{4}{35}+50 \times \frac{2}{105}+200 \times \frac{1}{105}=4$（元）