2012_退役省自主命题 (2012·理)
16．（本小题满分 13 分）
受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆，统计书数据如下：
| 品牌 | 甲 | 乙 | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 首次出现故障的时间 x （年） | $0| $1 | $x>2$ | $0 | $x>2$ | |
| 轿车数量（辆） | 2 | 3 | 45 | 5 | 45 |
| 每辆利润（万元） | 1 | 2 | 3 | 1.8 | 2.9 |
将频率视为概率，解答下列问题：
（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； （II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 $\mathrm{X}_{1}$ ，生产一辆乙品牌轿车的利润为 $\mathrm{X}_{2}$ ，分别求 $\mathrm{X}_{1}, \mathrm{X}_{2}$ 的分布列 ；
（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。
## 【解析】
①设＂品牌轿车甲首次出现故障在保修期内＂为事件 $A$ 则 $P(A)=\frac{2+3}{50}=\frac{1}{10}$ ．
②依题意 $X_{1}, X_{2}$ 的分布列分别如下：
| $X_{1}$ | 1 | 2 | 3 | $X_{2}$ | 1.8 | 2.9 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| P | $\frac{1}{25}$ | $\frac{3}{50}$ | $\frac{9}{10}$ | P | $\frac{1}{10}$ | $\frac{9}{10}$ |
③由②得
$$ \begin{aligned} & E\left(X_{1}\right)=1 \times \frac{1}{25}+2 \times \frac{3}{50}+3 \times \frac{9}{10}=2.86 . \\ & E\left(X_{2}\right)=1.8 \times \frac{1}{10}+2.9 \times \frac{9}{10}=2.79 . \\ & E\left(X_{1}\right)>E\left(X_{2}\right), \therefore \text { 应生产甲品牌轿车. } \end{aligned} $$
【考点定位】本题主要考查古典概型、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想。
17（本小题满分 13 分）
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1） $\sin ^{2} 13^{\circ}+\cos ^{2} 17^{\circ}-\sin 13^{\circ} \cos 17^{\circ}$
（2） $\sin ^{2} 15^{\circ}+\cos ^{2} 15^{\circ}-\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}$
（3） $\sin ^{2} 18^{\circ}+\cos ^{2} 12^{\circ}-\sin 18^{\circ} \cos 12^{\circ}$
④ $\sin ^{2}\left(-18^{\circ}\right)+\cos ^{2} 48^{\circ}-\sin ^{2}\left(-18^{\circ}\right) \cos ^{2} 48^{\circ}$
⑤ $\sin ^{2}\left(-25^{\circ}\right)+\cos ^{2} 55^{\circ}-\sin ^{2}\left(-25^{\circ}\right) \cos ^{2} 55^{\circ}$
I 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数
II 根据（I）的计算结。果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论
## 【解析】
①选择②式计算如下： $\sin ^{2} 15^{\circ}+\cos ^{2} 15^{\circ}-\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}=1-\frac{1}{2} \sin 30^{\circ}=\frac{3}{4}$ ．
（2）证明： $\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2}\left(30^{\circ}-\alpha\right)-\sin \alpha \cos \left(30^{\circ}-\alpha\right)$
$$ \begin{aligned} & =\sin ^{2} \alpha+\left(\cos 30^{\circ} \cos \alpha+\sin 30^{\circ} \sin \alpha\right)^{2}-\sin \alpha\left(\cos 30^{\circ} \cos \alpha+\sin 30^{\circ} \sin \alpha\right) \\ & \sin ^{2} \alpha+\frac{3}{4} \cos ^{2} \alpha+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \cos \alpha+\frac{1}{4} \sin ^{2} \alpha-\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \cos \alpha-\frac{1}{2} \sin ^{2} \alpha \\ & =\frac{3}{4} \sin ^{2} \alpha+\frac{3}{4} \cos ^{2} \alpha=\frac{3}{4} . \end{aligned} $$
【考点定位】本题主要考察同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式，考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想．